Sejam e F=(f1, f2, f3) bases de V^3 e v um vetor. Sabendo que as coordenadas (y1, y2, y3) de v na base F se relacionam com as coordenadas ( x1, x2, x3 ) de v na base E da seguinte forma:
c y1=2 x1-x2+x3 y2=x1-3 x3 y3=x2+2 x3,
escreva:
(1) e1, e2 e e3 como combinação linear de f1, f2 e f3.
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a pergunta está pedindo. A gente tem duas bases de um espaço vetorial tridimensional, chamadas E = (e1, e2, e3) e F = (f1, f2, f3). Além disso, sabemos como as coordenadas de um vetor v mudam de uma base para outra através de algumas equações. O que precisamos fazer é expressar cada vetor da base E (ou seja, e1, e2, e3) como uma combinação linear dos vetores da base F (ou seja, f1, f2, f3). Para isso, vamos usar conceitos de mudança de base e sistemas lineares.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa a mudança de base. Quando temos um vetor v, suas coordenadas podem ser diferentes dependendo da base que estamos usando. No caso, temos as coordenadas de v na base E (x1, x2, x3) e na base F (y1, y2, y3), relacionadas pelas equações:
y1=2 x1-x2+x3 y2=x1-3 x3 y3=x2+2 x3
Essas equações nos dão uma relação entre as coordenadas nas duas bases.
Passo 3
Nosso objetivo é encontrar como os vetores da base E podem ser escritos em termos dos vetores da base F. Ou seja, queremos expressar cada ei como combinação linear de f1, f2, f3:
ei = ai1 f1 + ai2 f2 + ai3 f3 para i = 1, 2, 3
Para encontrar os coeficientes aij, precisamos relacionar as coordenadas nas duas bases.
Passo 4
Vamos representar a relação entre as coordenadas como uma matriz. As equações que nos foram dadas podem ser escritas em forma de matriz:
Essa matriz é a matriz de mudança de base de E para F, ou seja, transforma as coordenadas de E para F.
Passo 5
Para encontrar a expressão inversa, ou seja, como ir de F para E, precisamos inverter essa matriz. Vamos chamar a matriz de mudança de base de M:
M = 2 & -1 & 1 1 & 0 & -3 0 & 1 & 2
Vamos calcular a inversa de M, M^-1.
Passo 6
Para inverter a matriz M, usamos a fórmula da matriz inversa para matrizes 3x3 ou aplicamos o método de eliminação de Gauss. Aqui, vamos calcular a inversa diretamente:
M^-1 = 21 & 11 & 31 11 & 11 & 01 -11 & 01 & 21
Após os cálculos apropriados (que deixamos de lado para simplificar), obtemos a matriz inversa M^-1.
Passo 7
Com a matriz inversa M^-1, podemos agora expressar as coordenadas de v na base E em termos das coordenadas na base F. Isso significa que podemos escrever cada vetor da base E como combinação linear dos vetores da base F usando os coeficientes da matriz inversa.
Resposta
As bases e1, e2 e e3 podem ser escritas como combinações lineares dos vetores da base F da seguinte forma: