Os vetores
e
são linearmente dependentes. Encontre quatro formas diferentes de escrever
como combinação linear de
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem três vetores
,
e
que são linearmente dependentes. A tarefa é encontrar quatro maneiras diferentes de escrever o vetor
como uma combinação linear desses vetores. Para isso, vamos precisar entender o que significa combinação linear e como resolver sistemas de equações.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma combinação linear. Dizemos que
é uma combinação linear de
,
e
se existem escalares
,
e
tais que:
Então, substituindo os vetores, temos:
Passo 3
Agora, vamos expandir essa equação componente por componente. Isso significa que igualamos as componentes
e
dos vetores:
Para a componente
:
Simplificando:
Para a componente
:
Simplificando:
Passo 4
Agora temos um sistema de duas equações com três incógnitas:
Como são mais incógnitas do que equações, podemos escolher um valor para uma das variáveis e resolver para as outras duas. Vamos escolher valores diferentes para
e encontrar os correspondentes
e
.
Passo 5
Primeira forma (usando
):
Escolhemos
, então a equação (2) fica:
Da equação (1):
Subtraindo a equação (2) da equação (1):
Então,
e
.
Portanto:
Passo 6
Segunda forma (usando
):
Escolhemos
, então a equação (2) fica:
Da equação (1):
Subtraindo a nova equação (2) da equação (1):
Então,
e
.
Portanto:
Passo 7
Terceira forma (usando
):
Escolhemos
, então a equação (2) fica:
Da equação (1):
Subtraindo a equação (2) da equação (1):
Então,
e
.
Portanto:
Passo 8
Quarta forma (usando
):
Escolhemos
, então a equação (2) fica:
Da equação (1):
Subtraindo a equação (2) da equação (1):
Então,
e
.
Portanto:
Resposta
Quatro formas diferentes de escrever
como combinação linear de
,
e
são: