Os vetores u=(2,1)E, v=(1,1)E e w=(0,2)E são linearmente dependentes. Encontre quatro formas diferentes de escrever a=(2,1)E como combinação linear de u, v e w.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem três vetores u = (2,1)E , v = (1,1)E e w = (0,2)E que são linearmente dependentes. A tarefa é encontrar quatro maneiras diferentes de escrever o vetor a = (2,1)E como uma combinação linear desses vetores. Para isso, vamos precisar entender o que significa combinação linear e como resolver sistemas de equações.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma combinação linear. Dizemos que a é uma combinação linear de u , v e w se existem escalares alpha , beta e gamma tais que:
a = alpha u + beta v + gamma w
Então, substituindo os vetores, temos:
(2,1) = alpha (2,1) + beta (1,1) + gamma (0,2)

Passo 3

Agora, vamos expandir essa equação componente por componente. Isso significa que igualamos as componentes x e y dos vetores:
Para a componente x :
2 = 2alpha + 1beta + 0gamma
Simplificando:
2 = 2alpha + beta (1)
Para a componente y :
1 = 1alpha + 1beta + 2gamma
Simplificando:
1 = alpha + beta + 2gamma (2)

Passo 4

Agora temos um sistema de duas equações com três incógnitas:
2alpha + beta = 2 (1) alpha + beta + 2gamma = 1 (2)
Como são mais incógnitas do que equações, podemos escolher um valor para uma das variáveis e resolver para as outras duas. Vamos escolher valores diferentes para gamma e encontrar os correspondentes alpha e beta .

Passo 5

Primeira forma (usando gamma = 0 ):
Escolhemos gamma = 0 , então a equação (2) fica:
alpha + beta = 1
Da equação (1):
2alpha + beta = 2
Subtraindo a equação (2) da equação (1):
2alpha + beta - (alpha + beta) = 2 - 1 alpha = 1
Então, alpha = 1 e beta = 0 .
Portanto:
a = 1u + 0v + 0w

Passo 6

Segunda forma (usando gamma = 1 ):
Escolhemos gamma = 1 , então a equação (2) fica:
alpha + beta + 2(1) = 1 alpha + beta = -1
Da equação (1):
2alpha + beta = 2
Subtraindo a nova equação (2) da equação (1):
2alpha + beta - (alpha + beta) = 2 - (-1) alpha = 3
Então, alpha = 3 e beta = -4 .
Portanto:
a = 3u - 4v + 1w

Passo 7

Terceira forma (usando gamma = -1 ):
Escolhemos gamma = -1 , então a equação (2) fica:
alpha + beta + 2(-1) = 1 alpha + beta = 3
Da equação (1):
2alpha + beta = 2
Subtraindo a equação (2) da equação (1):
2alpha + beta - (alpha + beta) = 2 - 3 alpha = -1
Então, alpha = -1 e beta = 4 .
Portanto:
a = -1u + 4v -1w

Passo 8

Quarta forma (usando gamma = 2 ):
Escolhemos gamma = 2 , então a equação (2) fica:
alpha + beta + 2(2) = 1 alpha + beta = -3
Da equação (1):
2alpha + beta = 2
Subtraindo a equação (2) da equação (1):
2alpha + beta - (alpha + beta) = 2 - (-3) alpha = 5
Então, alpha = 5 e beta = -8 .
Portanto:
a = 5u -8v +2w

Resposta

Quatro formas diferentes de escrever a = (2,1)E como combinação linear de u , v e w são:
  1. a = 1u + 0v + 0w
  2. a = 3u - 4v + 1w
  3. a = -1u + 4v -1w
  4. a = 5u -8v +2w

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