Sejam u=(x1, y1, z1) e v=(x2, y2, z2). Em cada item, determine se a expressão é um produto interno em R^3. Se não for, identifique quais os axiomas não são válidos.
lang<= u, vrang<==x1 x2-y1 y2+z1 z2

Passo 1

O enunciado define em R^3 os vetores
u=(x1,y1,z1), v=(x2,y2,z2)
e a aplicação
lang<= u,vrang<= = x1x2 ;-; y1y2 ;+; z1z2
Para ser produto interno, essa aplicação deve satisfazer três axiomas principais:
  1. simetria,
  2. bilinearidade (linearidade em cada argumento),
  3. positividade definida.

Passo 2

Verificamos a simetria, que exige
lang<= u,vrang<= = lang<= v,urang<=
Aqui
lang<= v,urang<= = x2x1 - y2y1 + z2z1 = x1x2 - y1y2 + z1z2 = lang<= u,vrang<=,
logo o axioma de simetria está satisfeito.

Passo 3

Testamos a bilinearidade em, digamos, primeiro argumento. Dados escalares a,b e vetores u,w,v, temos
lang<= a,u + b,w,;vrang<= = (a,x1+b,x1')(x2) - (a,y1+b,y1')y2 + (a,z1+b,z1')z2
= a,(x1x2-y1y2+z1z2) +b,(x1'x2-y1'y2+z1'z2) = a,lang<= u,vrang<= + b,lang<= w,vrang<=
Analogamente para o segundo argumento, então a bilinearidade também vale.

Passo 4

Por fim, a positividade definida exige que
lang<= u,urang<= >= 0 e lang<= u,urang<= = 0;Long<=ftrightarrow;u=0
Mas
lang<= u,urang<= = x1^2 - y1^2 + z1^2
Basta escolher, por exemplo, u=(0,1,0)neq 0. Então
lang<= (0,1,0),(0,1,0)rang<= = 0^2-1^2+0^2 = -1 < 0,
o que viola a positividade.

Resposta

O operador lang<= u,vrang<= = x1x2-y1y2+z1z2 não é produto interno em R^3, pois falha o axioma de positividade definida (existe uneq 0 com lang<= u,urang<=<0).

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