Sejam
e
. Em cada item, determine se a expressão é um produto interno em
. Se não for, identifique quais os axiomas não são válidos.
Passo 1
O enunciado define em
os vetores
e a aplicação
Para ser produto interno, essa aplicação deve satisfazer três axiomas principais:
- simetria,
- bilinearidade (linearidade em cada argumento),
- positividade definida.
Passo 2
Verificamos a simetria, que exige
Aqui
logo o axioma de simetria está satisfeito.
Passo 3
Testamos a bilinearidade em, digamos, primeiro argumento. Dados escalares
e vetores
, temos
Analogamente para o segundo argumento, então a bilinearidade também vale.
Passo 4
Por fim, a positividade definida exige que
Mas
Basta escolher, por exemplo,
. Então
o que viola a positividade.
Resposta
O operador
não é produto interno em
, pois falha o axioma de positividade definida (existe
com
).