Sejam
e
. Em cada item, determine se a expressão é um produto interno em
. Se não for, identifique quais os axiomas não são válidos.
Passo 1
O enunciado nos dá a forma bilinear
com
e
. Queremos verificar se isso define um produto interno em
. Vamos checar os três axiomas principais:
- Simetria:
. - Bilinearidade (ou linearidade em cada argumento).
- Positividade:
sempre que .
Passo 2
Verificação de simetria e bilinearidade:
- Simetria: trocando
por temos
logo
.
- Bilinearidade: para constantes
e vetores ,
que se separa linearmente em
. O mesmo vale na segunda componente. Portanto é bilinear.
Passo 3
Verificação da positividade:
Cada termo é não negativo e a soma só é zero se
. Assim
para todo
.
Resposta
A expressão
satisfa z todos os axiomas de um produto interno em
, logo é um produto interno válido.