Sejam u=(x1, y1, z1) e v=(x2, y2, z2). Em cada item, determine se a expressão é um produto interno em R^3. Se não for, identifique quais os axiomas não são válidos.
lang<= u, vrang<==2 x1 x2+y1 y2+4 z1 z2

Passo 1

O enunciado nos dá a forma bilinear
lang<= u,vrang<= = 2x1x2 + y1y2 + 4z1z2,
com u=(x1,y1,z1) e v=(x2,y2,z2). Queremos verificar se isso define um produto interno em R^3. Vamos checar os três axiomas principais:
  1. Simetria: lang<= u,vrang<= = lang<= v,urang<=.
  2. Bilinearidade (ou linearidade em cada argumento).
  3. Positividade: lang<= u,urang<=>0 sempre que uneq0.

Passo 2

Verificação de simetria e bilinearidade:
  • Simetria: trocando u por v temos
2x2x1 + y2y1 + 4z2z1 = 2x1x2 + y1y2 + 4z1z2,
logo lang<= u,vrang<==lang<= v,urang<=.
  • Bilinearidade: para constantes alpha,beta e vetores u,u',v,
lang<= alpha u + beta u',vrang<= =2(alpha x1+beta x1')x2 + (alpha y1+beta y1')y2 + 4(alpha z1+beta z1')z2
que se separa linearmente em alphalang<= u,vrang<=+betalang<= u',vrang<=. O mesmo vale na segunda componente. Portanto é bilinear.

Passo 3

Verificação da positividade:
lang<= u,urang<= = 2x1^2 + y1^2 + 4z1^2
Cada termo é não negativo e a soma só é zero se x1=y1=z1=0. Assim lang<= u,urang<=>0 para todo uneq0.

Resposta

A expressão
lang<= u,vrang<= = 2x1x2 + y1y2 + 4z1z2
satisfa z todos os axiomas de um produto interno em R^3, logo é um produto interno válido.

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