Sejam
e
. Em cada item, determine se a expressão é um produto interno em
. Se não for, identifique quais os axiomas não são válidos.
Passo 1
O enunciado nos dá dois vetores
e
em
e define
O conteúdo é verificar se essa fórmula satisfaz os axiomas de produto interno em
:
- positividade (
), - definitude (
), - simetria (
), - linearidade no primeiro argumento (
e ).
Passo 2
Verificamos simetria: permutando
e
obtemos
logo a simetria é satisfeita.
Passo 3
Verificamos positividade e definitude:
e essa soma só é zero se
, ou seja,
. Portanto, positividade e definitude também são válidas.
Passo 4
Agora testamos linearidade em
. Seja
. Então
mas para ser linear precisaríamos de
. Aqui surge um fator
em vez de
, logo falha a homogeneidade.
Também, se tomarmos ,
Também, se tomarmos
logo falha a aditividade.
Resposta
A expressão não é um produto interno em
. Os axiomas de linearidade no primeiro argumento (homogeneidade e aditividade) não são satisfeitos.