Sejam u=(x1, y1, z1) e v=(x2, y2, z2). Em cada item, determine se a expressão é um produto interno em R^3. Se não for, identifique quais os axiomas não são válidos.
lang<= u, vrang<==x1^2 x2^2+y1^2 y2^2+z1^2 z2^2

Passo 1

O enunciado nos dá dois vetores u=(x1,y1,z1) e v=(x2,y2,z2) em R^3 e define
lang<= u,vrang<= = x1^2x2^2 + y1^2y2^2 + z1^2z2^2
O conteúdo é verificar se essa fórmula satisfaz os axiomas de produto interno em R^3:
  1. positividade ( lang<= u,urang<=>=0),
  2. definitude ( lang<= u,urang<==0iff u=0),
  3. simetria ( lang<= u,vrang<==lang<= v,urang<=),
  4. linearidade no primeiro argumento ( lang<= u+ w,vrang<==lang<= u,vrang<=+lang<= w,vrang<= e lang<= alpha u,vrang<==alphalang<= u,vrang<=).

Passo 2

Verificamos simetria: permutando u e v obtemos
lang<= v,urang<= = x2^2x1^2 + y2^2y1^2 + z2^2z1^2 = x1^2x2^2 + y1^2y2^2 + z1^2z2^2 = lang<= u,vrang<=,
logo a simetria é satisfeita.

Passo 3

Verificamos positividade e definitude:
lang<= u,urang<= = x1^4 + y1^4 + z1^4>= 0,
e essa soma só é zero se x1=y1=z1=0, ou seja, u=0. Portanto, positividade e definitude também são válidas.

Passo 4

Agora testamos linearidade em u. Seja alphainR. Então
lang<= alpha u,vrang<= = (alpha x1)^2x2^2 + (alpha y1)^2y2^2 + (alpha z1)^2z2^2 = alpha^2l(x1^2x2^2+y1^2y2^2+z1^2z2^2r) = alpha^2lang<= u,vrang<=,
mas para ser linear precisaríamos de alphalang<= u,vrang<=. Aqui surge um fator alpha^2 em vez de alpha, logo falha a homogeneidade.
Também, se tomarmos u,winR^3,
lang<= u+w, vrang<= = (x1+x3)^2x2^2 + cdots neq x1^2x2^2+x3^2x2^2 = lang<= u,vrang<= + lang<= w,vrang<=,
logo falha a aditividade.

Resposta

A expressão não é um produto interno em R^3. Os axiomas de linearidade no primeiro argumento (homogeneidade e aditividade) não são satisfeitos.

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