Sejam E=(e1, e2, e3) e F=(f1, f2, f3) bases de V^3 e v um vetor. Sabendo que as coordenadas (y1, y2, y3) de v na base F se relacionam com as coordenadas ( x1, x2, x3 ) de v na base E da seguinte forma:
c y1=2 x1-x2+x3 y2=x1-3 x3 y3=x2+2 x3,
escreva:
(2) f1, f2 e f3 como combinação linear de e1, e2 e e3.

Passo 1

O enunciado dá duas bases
O objetivo é escrever . Para isso, usamos a matriz de mudança de base que leva coordenadas de em coordenadas de e, em seguida, invertê-la para obter as colunas que dão cada em termos de .

Passo 2

Escrevemos a relação
onde

Passo 3

Calculamos o determinante de P:
det P =2det0&-31&2 -(-1)det1&-30&2 +1det1&00&1 =2cdot3+1cdot2+1cdot1=9

Passo 4

Para inverter P usamos P^-1=1det PadjP. Calcula-se a matriz dos cofactores e obtém-se
adjP = 3 & 3 & 3 -2 & 4 & 7 1 & -2 & 1 ,
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P^-1 = 19 3 & 3 & 3 -2 & 4 & 7 1 & -2 & 1 = 13 & 13 & 13 -29 & 49 & 79 19 & -29 & 19

Passo 5

Como overrightarrow fj é o vetor cujas coordenadas em F são o vetor canônico ej, temos
[overrightarrow fj]E = P^-1ej,
isto é, a j-ésima coluna de P^-1. Dessa forma,
overrightarrow f1 = 13,overrightarrow e1 -29,overrightarrow e2 +19,overrightarrow e3,
overrightarrow f2 = 13,overrightarrow e1 +49,overrightarrow e2 -29,overrightarrow e3,
overrightarrow f3 = 13,overrightarrow e1 +79,overrightarrow e2 +19,overrightarrow e3

Resposta

f1 = 13 e1 - 29 e2 + 19 e3,
f2 = 13 e1 + 49 e2 - 29 e3,
f3 = 13 e1 + 79 e2 + 19 e3

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