Sejam \boldsymbol{A} e \boldsymbol{B} matrizes do tipo m \times n. Classifique como verdadeiro ou falso:
b) (\boldsymbol{A}+\boldsymbol{B})^{\top}=\boldsymbol{A}^{\top}+\boldsymbol{B}^{\top}.

Passo 1

O enunciado afirma que, dadas duas matrizes \boldsymbol{A} e \boldsymbol{B} de mesmo tamanho m\times n, a transposta da soma é igual à soma das transpostas:
(\boldsymbol{A}+\boldsymbol{B})^{\top} = \boldsymbol{A}^{\top} + \boldsymbol{B}^{\top}.
O conteúdo utilizado será a definição de transposta e a definição de soma de matrizes por componentes.

Passo 2

Pela definição, para uma matriz genérica \boldsymbol{M} de tamanho m\times n, sua transposta \boldsymbol{M}^{\top} é a matriz n\times m dada por
(\boldsymbol{M}^{\top})_{ij} = M_{ji}.
E a soma \boldsymbol{A}+\boldsymbol{B} tem entradas
(\boldsymbol{A}+\boldsymbol{B})_{ij} = A_{ij} + B_{ij}.

Passo 3

Considere uma posição genérica (i,j). Então
\bigl((\boldsymbol{A}+\boldsymbol{B})^{\top}\bigr)_{ij} = (\boldsymbol{A}+\boldsymbol{B})_{ji} = A_{ji} + B_{ji},
enquanto
(\boldsymbol{A}^{\top} + \boldsymbol{B}^{\top})_{ij} = A^{\top}_{ij} + B^{\top}_{ij} = A_{ji} + B_{ji}.
Como as duas expressões coincidem para todo par (i,j), as matrizes são iguais.

Resposta

Verdadeiro.

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