Sejam
e
, com
. Calcule
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem a função
e um vetor
que tem comprimento 1, ou seja,
. O exercício pede para calcular a derivada parcial de
na direção desse vetor
. Vamos precisar entender de cálculo multivariável, especificamente sobre o que é derivada direcional e como calcular usando o gradiente.
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre a derivada direcional. Imagine que você quer saber como a função
está mudando em uma direção específica, dada pelo vetor
. A derivada direcional mede exatamente isso: a taxa de variação de
na direção de
.
Passo 3
Para calcular a derivada direcional, a gente precisa usar o gradiente da função
. O gradiente, denotado por
, é um vetor que aponta na direção de maior crescimento de
e cujos componentes são as derivadas parciais de
em relação a cada variável.
Vamos calcular o gradiente de
:
Calculando cada derivada parcial:
Então, o gradiente é:
Passo 4
Agora que temos o gradiente, a derivada direcional
é o produto escalar entre o gradiente e o vetor
. O produto escalar entre dois vetores
e
é dado por:
Aplicando isso ao nosso caso:
Resposta
A derivada parcial de
na direção de
é: