Sejam f(x, y, z)=2 x^3+7 y^2+9 z^2 e v=(v1, v2, v3), com |v|=1. Calcule partial f(x, y, z) / partial v.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a função f(x, y, z) = 2x^3 + 7y^2 + 9z^2 e um vetor v = (v1, v2, v3) que tem comprimento 1, ou seja, |v| = 1 . O exercício pede para calcular a derivada parcial de f na direção desse vetor v . Vamos precisar entender de cálculo multivariável, especificamente sobre o que é derivada direcional e como calcular usando o gradiente.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre a derivada direcional. Imagine que você quer saber como a função f está mudando em uma direção específica, dada pelo vetor v . A derivada direcional mede exatamente isso: a taxa de variação de f na direção de v .

Passo 3

Para calcular a derivada direcional, a gente precisa usar o gradiente da função f . O gradiente, denotado por nabla f , é um vetor que aponta na direção de maior crescimento de f e cujos componentes são as derivadas parciais de f em relação a cada variável.
Vamos calcular o gradiente de f :
nabla f = ( partial fpartial x, partial fpartial y, partial fpartial z )
Calculando cada derivada parcial:
partial fpartial x = partialpartial x (2x^3 + 7y^2 + 9z^2) = 6x^2
partial fpartial y = partialpartial y (2x^3 + 7y^2 + 9z^2) = 14y
partial fpartial z = partialpartial z (2x^3 + 7y^2 + 9z^2) = 18z
Então, o gradiente é:
nabla f = (6x^2, 14y, 18z)

Passo 4

Agora que temos o gradiente, a derivada direcional partial fpartial v é o produto escalar entre o gradiente e o vetor v . O produto escalar entre dois vetores a = (a1, a2, a3) e b = (b1, b2, b3) é dado por:
a cdot b = a1b1 + a2b2 + a3b3
Aplicando isso ao nosso caso:
partial fpartial v = nabla f cdot v = 6x^2 v1 + 14y v2 + 18z v3

Resposta

A derivada parcial de f na direção de v é:
partial fpartial v = 6x^2 v1 + 14y v2 + 18z v3

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