Sejam p=1-i-j-k e q=j+k. Calcule p+p+ q+p-(i+q).

Passo 1

Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos dois quaternions:
  • p = 1 - i - j - k
  • q = j + k
O objetivo é calcular a expressão:
p + p+ q + p-(i + q)
Aqui, p+ representa a parte real de p e p- representa a parte imaginária de p . Para resolver isso, vamos precisar entender como manipular quaternions e realizar multiplicações entre eles.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as partes real e imaginária de p :
  • Parte real ( p+ ): 1
  • Parte imaginária ( p- ): -i - j - k
Agora, substituímos esses valores na expressão original:
p + (1) cdot q + (-i - j - k) cdot (i + q)

Passo 3

Vamos calcular cada termo separadamente.
1. Termo p :
p = 1 - i - j - k
2. Termo p+ q :
1 cdot q = q = j + k
3. Termo p-(i + q) :
Primeiro, somamos i + q :
i + q = i + j + k
Agora, multiplicamos p- por essa soma:
(-i - j - k)(i + j + k)

Passo 4

Para multiplicar os quaternions, usamos as regras:
  • i^2 = j^2 = k^2 = ijk = -1
  • ij = k , jk = i , ki = j
  • ji = -k , kj = -i , ik = -j
Vamos multiplicar termo a termo:
  1. (-i) cdot i = -i^2 = 1
  2. (-i) cdot j = -ij = -k
  3. (-i) cdot k = -ik = j
  4. (-j) cdot i = -ji = k
  5. (-j) cdot j = -j^2 = 1
  6. (-j) cdot k = -jk = -i
  7. (-k) cdot i = -ki = -j
  8. (-k) cdot j = -kj = i
  9. (-k) cdot k = -k^2 = 1

Passo 5

Agora, somamos todos os resultados obtidos:
1 - k + j + k + 1 - i - j + i + 1
Simplificando:
  • 1 + 1 + 1 = 3
  • -k + k = 0
  • j - j = 0
  • -i + i = 0
Portanto:
p-(i + q) = 3

Passo 6

Agora, substituímos todos os termos calculados na expressão original:
p + p+ q + p-(i + q) = (1 - i - j - k) + (j + k) + 3
Simplificando:
  • 1 + 3 = 4
  • -i permanece
  • -j + j = 0
  • -k + k = 0
Portanto:
p + p+ q + p-(i + q) = 4 - i

Resposta

4 - i

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