Verifique a relação sc(q v barq)=0, onde (a) q=1-i+j+k, v=1+i+j+k; (b) q=j, v=10-2 i-j+k; (c) q=i+j+k, v=1-i-j-k.

Passo 1

O enunciado pede para verificarmos que, para cada par de quaternions q e v dados, a parte escalar de
q,v,q
é zero.
Conteúdo: multiplicação de quaternions usando decomposição em parte escalar e vetor.

Passo 2

Escrevemos
q = s + Q, v = 0 + V, q = s - Q,
onde sinR é a parte escalar de q e Q,VinR^3 são as partes vetoriais. A regra de multiplicação é
(a0+A)(b0+B) =(a0b0-A!cdot!B) +l(a0B+b0A+AtimesBr)

Passo 3

Primeiro calculamos
q,v=(s+Q)(0+V) =( -,Q!cdot!V ) + l(s,V+QtimesVr)
Chamando
t0=-Q!cdot!V e T=s,V+QtimesV,
fica qv=t0+T

Passo 4

Agora multiplicamos por q=s-Q:
(qv),q =(t0+T)(s-Q) =t0,s+underbracel(-t0Q+s,T-TQr)vetorial
A parte escalar dessa expressão é
sc=;t0,s;+;scl(-T,Qr)
Mas para vetores puros T e Q vale
T,Q=-,T!cdot!Q+TtimesQ,
logo
sc(-T,Q)=T!cdot!Q
Então
sc(qvq) =t0,s+T!cdot!Q =-,s,(Q!cdot!V) +l(s,V+QtimesVr)!cdot!Q =-s(Q!cdot!V)+s(V!cdot!Q)=0

Passo 5

Para cada caso basta checar Q!cdot!V e s:
Para (a) q=1-i+j+k s=1, Q=(-1,1,1);
;v=1+i+j+k V=(1,1,1).
Logo Q!cdot!V=-1+1+1=1 e s=1, terminado o mesmo cancelamento.
Para (b) q=j s=0, Q=(0,1,0);
;v=10-2i-j+k V=(-2,-1,1).
Então Q!cdot!V=-1 mas s=0 faz tudo zero.
Para (c) q=i+j+k s=0, Q=(1,1,1);
;v=1-i-j-k V=(-1,-1,-1).
Então Q!cdot!V=-3 mas s=0 anula a parte escalar.

Resposta

Em todos os casos sc(q cdot v cdot q)=0.\newline

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