Verifique a relação |q p barq|=|p|, onde q=1raiz3-1raiz3 j+1raiz3 k, p=1-i+3 j-k.

Passo 1

O enunciado pede para verificar que um giro via quaternions preserva norma, ou seja, que
|q,p,bar q| = |p|
onde
q = 1raiz3 - 1raiz3,j + 1raiz3,k, p = 1 - i + 3,j - k
O conteúdo é a propriedade de isometria de uma rotação representada por quaternion unitário.

Passo 2

Calculemos primeiro a norma de p. Se escrevemos
p = p0 + p1,i + p2,j + p3,k
com p0=1, p1=-1, p2=3, p3=-1, então
|p| = raizp0^2 + p1^2 + p2^2 + p3^2 = raiz1^2 + (-1)^2 + 3^2 + (-1)^2 = raiz1 + 1 + 9 + 1 = raiz12 = 2raiz3

Passo 3

Verifiquemos que q é unitário e calculemos sua conjugada. Escrevendo
q = a + b,i + c,j + d,k
temos
a = tfrac1raiz3, b=0, c=-tfrac1raiz3, d=tfrac1raiz3,
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|q|^2 = a^2 + b^2 + c^2 + d^2 = tfrac13 + 0 + tfrac13 + tfrac13 = 1,
e
bar q = a - b,i - c,j - d,k = 1raiz3 + 1raiz3,j - 1raiz3,k

Passo 4

Agora calculamos q,p. Seja
q,p = r0 + r1,i + r2,j + r3,k
Aplicando a regra de multiplicação de quaternions obtemos os componentes
r0 &= 1raiz3cdot 1 - 0cdot(-1) - l(-tfrac1raiz3r)cdot 3 - tfrac1raiz3cdot(-1) = 5raiz3, r1 &= 1raiz3cdot(-1) + 0cdot 1 + l(-tfrac1raiz3r)cdot(-1) - tfrac1raiz3cdot 3 = -raiz3, r2 &= 1raiz3cdot 3 - 0cdot(-1) + l(-tfrac1raiz3r)cdot 1 + tfrac1raiz3cdot(-1) = 1raiz3, r3 &= 1raiz3cdot(-1) + 0cdot 3 - l(-tfrac1raiz3r)cdot(-1) + tfrac1raiz3cdot 1 = -1raiz3

Passo 5

Em seguida calculamos
p' = (q,p),bar q = (r0 + r1 i + r2 j + r3 k),bar q = s0 + s1,i + s2,j + s3,k
Usando multiplicação de quaternions, encontra-se
s0 &= 1, s1 &= -1, s2 &= 1, s3 &= -3
Assim
p' = 1 - i + j - 3,k

Passo 6

Finalmente, calculemos a norma de p':
|p'| = raiz1^2 + (-1)^2 + 1^2 + (-3)^2 = raiz1 + 1 + 1 + 9 = raiz12 = 2raiz3

Resposta

Como |p'| = 2raiz3 = |p|, ficou verificado que
l|,q,p,bar qr| = |p|

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