Verifique a relação |q p barq|=|p|, onde (a) q=12-12 i+12 j+12 k, p=i-j-k; (b) q=1raiz2-1raiz2 k, p=2-3 i+j-k; (c) q=1raiz3-1raiz3 j+1raiz3 k, p=1-i+3 j-k.

Passo 1

O enunciado pede para verificar, em cada caso, que a operação de conjugação por um quaternion unitário preserva norma, isto é,
|,q,p,bar q,| = |p|
Conteúdo necessário: definição de norma de quaternion e propriedade multiplicativa da norma ( |ab|=|a|,|b|) além de |bar q|=|q|.

Passo 2

Como propriedade geral, para quaisquer quaternions a e b vale
|ab| = |a|,|b|,
e além disso |bar q|=|q|. Logo, se q é unitário ( |q|=1), então
|,q,p,bar q,| = |q|,|p|,|bar q| = 1cdot|p|cdot1 = |p|

Passo 3

(a) Caso q=tfrac12-tfrac12,i+tfrac12,j+tfrac12,k e p=i-j-k.
Calculemos
|q| = raizl(tfrac12r)^2+l(-tfrac12r)^2+l(tfrac12r)^2+l(tfrac12r)^2 = raiztfrac14+tfrac14+tfrac14+tfrac14 = 1,
|p| = raiz0^2+1^2+(-1)^2+(-1)^2 = raiz1+1+1 = raiz3
Logo |q,p,bar q| = |p| = raiz3.

Passo 4

(b) Caso q=tfrac1raiz2-tfrac1raiz2,k e p=2-3,i+j-k.
|q| = raizl(tfrac1raiz2r)^2+0^2+0^2+l(-tfrac1raiz2r)^2 = raiztfrac12+tfrac12 = 1,
|p| = raiz2^2+(-3)^2+1^2+(-1)^2 = raiz4+9+1+1 = raiz15
Logo |q,p,bar q| = |p| = raiz15.

Passo 5

(c) Caso q=tfrac1raiz3-tfrac1raiz3,j+tfrac1raiz3,k e p=1-i+3,j-k.
|q| = raizl(tfrac1raiz3r)^2+0^2+l(-tfrac1raiz3r)^2+l(tfrac1raiz3r)^2 = raiztfrac13+tfrac13+tfrac13 = 1,
|p| = raiz1^2+(-1)^2+3^2+(-1)^2 = raiz1+1+9+1 = raiz12 = 2raiz3
Logo |q,p,bar q| = |p| = 2raiz3.

Resposta

(a) |q,p,bar q| = |p| = raiz3.
(b) |q,p,bar q| = |p| = raiz15.
(c) |q,p,bar q| = |p| = 2raiz3.

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