Sejam u=-2 i+5 j+7 k, v=-i+3 j+3 k e w=2 i-2 j+k calcule os vetores
projw(projv u)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem três vetores:
  • u = -2i + 5j + 7k
  • v = -i + 3j + 3k
  • w = 2i - 2j + k
A questão pede para calcular projw(projv u), ou seja, primeiro projeta a u no v e depois projeta esse resultado no w. Para resolver isso, vamos usar a fórmula de projeção de um vetor sobre outro.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como projetar um vetor a sobre outro vetor b. A fórmula é:
projb a = ( a cdot b|b|^2 ) b
Onde:
  • a cdot b é o produto escalar dos vetores.
  • |b| é o comprimento (módulo) do vetor b.
Vamos aplicar isso para encontrar projv u.
Calculando o produto escalar u cdot v:
u cdot v = (-2)(-1) + (5)(3) + (7)(3) = 2 + 15 + 21 = 38
Calculando |v|^2:
|v|^2 = (-1)^2 + 3^2 + 3^2 = 1 + 9 + 9 = 19
Agora, a projeção:
projv u = ( 3819 ) v = 2 v = 2(-i + 3j + 3k) = -2i + 6j + 6k

Passo 3

Agora que temos projv u = -2i + 6j + 6k, vamos projetar esse vetor no w usando a mesma fórmula.
Primeiro, calculamos o produto escalar projv u cdot w:
(-2)(2) + (6)(-2) + (6)(1) = -4 - 12 + 6 = -10
Calculando |w|^2:
|w|^2 = 2^2 + (-2)^2 + 1^2 = 4 + 4 + 1 = 9
Agora, a projeção:
projw(projv u) = ( -109 ) w = -109(2i - 2j + k) = -209i + 209j - 109k

Resposta

A projeção solicitada é:
-209i + 209j - 109k

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