Sejam u=-2 i+5 j+7 k, v=-i+3 j+3 k e w=2 i-2 j+k calcule os vetores
proju(projv w)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de projeção de vetores. A gente tem três vetores: u, v e w, e precisamos calcular a projeção de w sobre v e depois projetar esse resultado sobre u. Para isso, vamos usar a fórmula de projeção de vetores, que envolve produtos escalares e magnitudes dos vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a projeção de w sobre v, que é denotada por projv w. A fórmula para a projeção de um vetor a sobre b é:
projb a = ( a cdot b|b|^2 ) b
Então, vamos calcular o produto escalar w cdot v e a magnitude ao quadrado de v, |v|^2.
Dados:
v = -i + 3j + 3k
w = 2i - 2j + k
Calculando o produto escalar:
w cdot v = (2)(-1) + (-2)(3) + (1)(3) = -2 -6 +3 = -5
Calculando a magnitude ao quadrado de v:
|v|^2 = (-1)^2 + 3^2 + 3^2 = 1 + 9 + 9 = 19
Então, a projeção fica:
projv w = ( -519 ) v = ( -519 ) (-i + 3j + 3k) = 519i - 1519j - 1519k

Passo 3

Agora, vamos projetar o resultado acima sobre u, ou seja, calcular proju ( projv w ). Usamos a mesma fórmula de projeção:
proju a = ( a cdot u|u|^2 ) u
Aqui, a é a projeção que já calculamos:
a = 519i - 1519j - 1519k
E u é:
u = -2i + 5j + 7k
Primeiro, calculamos o produto escalar a cdot u:
a cdot u = ( 519 )(-2) + ( -1519 )(5) + ( -1519 )(7) = -1019 - 7519 - 10519 = -19019 = -10
Calculando a magnitude ao quadrado de u:
|u|^2 = (-2)^2 + 5^2 + 7^2 = 4 + 25 + 49 = 78
Então, a projeção fica:
proju ( projv w ) = ( -1078 ) u = ( -539 ) (-2i + 5j + 7k) = 1039i - 2539j - 3539k

Resposta

A projeção proju(projv w) é igual a:
1039i - 2539j - 3539k

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