Uma placa retangular homogênea é dividida em 25 sub-retângulos, nos quais deseja-se medir a temperatura. A tabela a seguir mostra a distribuição de temperaturas em cada sub-retângulo desta placa.
100 100 100 100 500
100 T1 T2 T3 500
100 T4 T5 T6 500
100 T7 T8 T9 500
100 100 100 100 500
Descubra os valores das temperaturas Tk(k=1, ldots, 9), sabendo que cada Tk é obtido pela média aritmética de seus quatro valores vizinhos: de cima, de baixo, da

Passo 1

Beleza, olha o que a questão pede: temos uma placa dividida em 5×5 sub‐retângulos, nas bordas já sabemos todas as temperaturas (100 à esquerda e em quase toda a parte superior e inferior, 500 na coluna mais à direita). Dentro, há 9 sub‐retângulos desconhecidos . O conteúdo é aquele “método das diferenças finitas” (ou “equação discreta de Laplace”): cada ponto interior vale a média dos quatro vizinhos (acima, abaixo, esquerda, direita). Para resolver, a gente vai:
  1. montar a equação de média para cada ,
  2. usar uma simetria (topo e fundo iguais) para reduzir incógnitas,
  3. resolver o sistema linear por substituição.

Passo 2

Vamos numerar assim (índices de linha e coluna de 1 a 5):
Ti,j ;=;Ti-1,j+Ti+1,j+Ti,j-1+Ti,j+14 está na linha 2, coluna 2
 • em (2,3), em (2,4)
 • em (3,2), em (3,3), em (3,4)
 • em (4,2), em (4,3), em (4,4)
Nas bordas:
– Coluna 1: todo 100
– Coluna 5: todo 500
– Linha 1, colunas 1–4: 100 (e em (1,5)=500)
– Linha 5 idem linha 1.
A regra de ouro é, para cada interior,

Passo 3

Escrevendo pra cada T1=T7, T2=T8, T3=T9 as quatro vizinhanças, teríamos 9 equações. Mas repara: a borda de cima e a de baixo valem o mesmo (100 em cada coluna de 2 a 4), então o problema é simétrico em relação à linha central. Daí
a=T1=T7, b=T2=T8, c=T3=T9,
Chamemos:
e=T4, f=T5, g=T6
Agora só temos 6 incógnitas e 6 equações obtidas de aplicar a média aos centros “distintos”.

Passo 4

As equações (cada uma vem de “valor = média dos quatro vizinhos”):
  1. Para 4a = 100 + e + 100 + b Longrightarrow e + b - 4a = -200 em (2,2): vizinhos são 100 (cima), 4e = a + a + 100 + f ;Longrightarrow; -2a + 4e - f = 100 (baixo), 100 (esq.) e 4b = 100 + f + a + c ;Longrightarrow; -a +4b - f - c =100 (dir.).
    4f = b + b + e + g ;Longrightarrow; -e -2b +4f - g =0
  2. Para 4c =100 + g + b +500 ;Longrightarrow; -b +4c - g =600 em (3,2): vizinhos 4g = c + c + f +500 ;Longrightarrow; -f -2c +4g =500 (cima), (baixo), 100 (esq.), (dir.).
  3. Para em (2,3): vizinhos 100 (cima), (baixo), (esq.), (dir.).
  4. Para em (3,3): vizinhos , , , .
  5. Para em (2,4): vizinhos 100, , , 500.
  6. Para em (3,4): vizinhos .

Passo 5

Agora, resolvendo esse sistema por substituição (vou só indicar os passos-foco, sem poluir muito):
a) Da eq. (1) você obtém
e = 4a - b -200
b) Da eq. (2) vem
f = 14a - 4b -900
c) Da eq. (3) vem
c = -15a + 8b +800
d) Da eq. (5) isola-se
g = 4c - b -600
e) Substituindo tudo em (4) e (6) sobra um par de equações só em a = 9007approx128,57, b=175 . Resolvendo dá
c = 19007approx271,43, e = 9757approx139,29,
f) Voltando em ©,(a),(b),(d) achamos
f =200, g = 21757approx310,71

Resposta

Em forma de matriz 3×3 central (linhas 2–4, colunas 2–4), os T1=900/7approx128.57,& T2=175,& T3=1900/7approx271.43,[6pt] T4=975/7approx139.29,& T5=200,& T6=2175/7approx310.71,[6pt] T7=900/7approx128.57,& T8=175,& T9=1900/7approx271.43 são:

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