Uma placa retangular homogênea é dividida em 25 sub-retângulos, nos quais deseja-se medir a temperatura. A tabela a seguir mostra a distribuição de temperaturas em cada sub-retângulo desta placa.
100 | 100 | 100 | 100 | 500 |
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100 |
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500 |
100 |
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500 |
100 |
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500 |
100 | 100 | 100 | 100 | 500 |
Descubra os valores das temperaturas
, sabendo que cada
é obtido pela média aritmética de seus quatro valores vizinhos: de cima, de baixo, da
Passo 1
Beleza, olha o que a questão pede: temos uma placa dividida em 5×5 sub‐retângulos, nas bordas já sabemos todas as temperaturas (100 à esquerda e em quase toda a parte superior e inferior, 500 na coluna mais à direita). Dentro, há 9 sub‐retângulos desconhecidos
. O conteúdo é aquele “método das diferenças finitas” (ou “equação discreta de Laplace”): cada ponto interior vale a média dos quatro vizinhos (acima, abaixo, esquerda, direita). Para resolver, a gente vai:
- montar a equação de média para cada
, - usar uma simetria (topo e fundo iguais) para reduzir incógnitas,
- resolver o sistema linear por substituição.
Passo 2
Vamos numerar assim (índices de linha e coluna de 1 a 5):
•
está na linha 2, coluna 2
• em (2,3),
em (2,4)
• em (3,2),
em (3,3),
em (3,4)
• em (4,2),
em (4,3),
em (4,4)
•
•
•
Nas bordas:
– Coluna 1: todo 100
– Coluna 5: todo 500
– Linha 1, colunas 1–4: 100 (e em (1,5)=500)
– Linha 5 idem linha 1.
– Coluna 1: todo 100
– Coluna 5: todo 500
– Linha 1, colunas 1–4: 100 (e em (1,5)=500)
– Linha 5 idem linha 1.
A regra de ouro é, para cada
interior,
Passo 3
Escrevendo pra cada
as quatro vizinhanças, teríamos 9 equações. Mas repara: a borda de cima e a de baixo valem o mesmo (100 em cada coluna de 2 a 4), então o problema é simétrico em relação à linha central. Daí
Chamemos:
Agora só temos 6 incógnitas
e 6 equações obtidas de aplicar a média aos centros “distintos”.
Passo 4
As equações (cada uma vem de “valor = média dos quatro vizinhos”):
-
Para
em (2,2): vizinhos são 100 (cima), (baixo), 100 (esq.) e (dir.). -
Para
em (3,2): vizinhos (cima), (baixo), 100 (esq.), (dir.). -
Para
em (2,3): vizinhos 100 (cima), (baixo), (esq.), (dir.). -
Para
em (3,3): vizinhos , , , . -
Para
em (2,4): vizinhos 100, , , 500. -
Para
em (3,4): vizinhos .
Passo 5
Agora, resolvendo esse sistema por substituição (vou só indicar os passos-foco, sem poluir muito):
a) Da eq. (1) você obtém
b) Da eq. (2) vem
c) Da eq. (3) vem
d) Da eq. (5) isola-se
e) Substituindo tudo em (4) e (6) sobra um par de equações só em
. Resolvendo dá
f) Voltando em ©,(a),(b),(d) achamos
Resposta
Em forma de matriz 3×3 central (linhas 2–4, colunas 2–4), os
são: