e queremos saber se as sequências dos métodos de Gauss–Jacobi e Gauss–Seidel convergem.
Conteúdo da matéria: Métodos iterativos de solução de sistemas lineares e critério de convergência (dominância diagonal).
O que vamos precisar: montar a matriz , analisar a dominância diagonal linha a linha e usar o fato de que se é estritamente diagonalmente dominante por linhas, ambos os métodos convergem.
Teoria da dominância diagonal:
Uma matriz |aii| > sumjneq i|aij| é estritamente diagonalmente dominante por linhas se, para todo ,
Se isso vale, então tanto o método de Gauss–Jacobi quanto o de Gauss–Seidel convergem.
Vamos checar linha a linha:
Linha 1: e .
Como , ok.
Linha 2: e .
Como , ok.
Linha 3: e .
Como , ok.
Todas as linhas satisfazem a condição de dominância.
Passo 4
Conclusão: a matriz é estritamente diagonalmente dominante por linhas. Logo, pelas propriedades dos métodos iterativos, tanto o Gauss–Jacobi quanto o Gauss–Seidel vão convergir para a solução do sistema.
Resposta
Sim, ambos os métodos (Gauss–Jacobi e Gauss–Seidel) convergem para a solução deste sistema, pois a matriz é estritamente diagonalmente dominante por linhas.