Considere o sistema linear
rl 10 x1+x2 & -x3=10 2 x1+10 x2+6 x3 & =20 7 x1+x2+10 x3 & =30
(a) É possível dizer que as sequências geradas pelos métodos de Gauss-Jacobi e de Gauss-Seidel convergirão para a solução deste sistema linear?

Passo 1

Resumo do enunciado: temos o sistema
10x1 + x2 - x3 = 10, 2x1 + 10x2 + 6x3 = 20, 7x1 + x2 + 10x3 = 30,
e queremos saber se as sequências dos métodos de Gauss–Jacobi e Gauss–Seidel convergem.
Conteúdo da matéria: Métodos iterativos de solução de sistemas lineares e critério de convergência (dominância diagonal).
O que vamos precisar: montar a matriz , analisar a dominância diagonal linha a linha e usar o fato de que se é estritamente diagonalmente dominante por linhas, ambos os métodos convergem.

Passo 2

Escrevendo matriz e vetor:
A = 10 & 1 & -1 2 & 10 & 6 7 & 1 & 10 , b = 102030

Passo 3

Teoria da dominância diagonal:
Uma matriz |aii| > sumjneq i|aij| é estritamente diagonalmente dominante por linhas se, para todo ,
Se isso vale, então tanto o método de Gauss–Jacobi quanto o de Gauss–Seidel convergem.
Vamos checar linha a linha:
  1. Linha 1: e .
    Como , ok.
  2. Linha 2: e .
    Como , ok.
  3. Linha 3: e .
    Como , ok.
Todas as linhas satisfazem a condição de dominância.

Passo 4

Conclusão: a matriz é estritamente diagonalmente dominante por linhas. Logo, pelas propriedades dos métodos iterativos, tanto o Gauss–Jacobi quanto o Gauss–Seidel vão convergir para a solução do sistema.

Resposta

Sim, ambos os métodos (Gauss–Jacobi e Gauss–Seidel) convergem para a solução deste sistema, pois a matriz é estritamente diagonalmente dominante por linhas.

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