Sejam A=[cccc1 & 0 & 2 & 1 0 & 1 & 0 & 1 -1 & 0 & 0 & 0] e T a transformação linear associada à matriz A.
Determine uma base para o subespaço Nuc(T), o subespaço nulo de T.

Passo 1

O enunciado dá a matriz
A = 1 & 0 & 2 & 1 0 & 1 & 0 & 1 -1 & 0 & 0 & 0
e pede uma base de Nuc(T)=ker(A). Para isso, vamos resolver o sistema homogêneo
A x = 0,
onde x=(x1,x2,x3,x4)^T.

Passo 2

Escrevendo A x = 0 em equações, temos
x1 + 2x3 + x4 = 0, x2 + x4 = 0, -,x1 = 0

Passo 3

Da terceira equação -x1=0 segue imediatamente
x1 = 0

Passo 4

Substituindo x1=0 na primeira equação, obtemos
2x3 + x4 = 0 Longrightarrow x4 = -2x3
Na segunda equação,
x2 + x4 = 0 Longrightarrow x2 = -x4 = 2x3
Fica então x3 como parâmetro livre.

Passo 5

A solução geral é
x = (x1,x2,x3,x4) = l(0,;2x3,;x3,;-2x3r) = x3,(0,2,1,-2)
Como o espaço nulo é gerado por esse único vetor, a dimensão do núcleo é 1.

Resposta

Uma base de Nuc(T) é
(0,2,1,-2)

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