Sejam A=[cccc1 & 0 & 2 & 1 0 & 1 & 0 & 1 -1 & 0 & 0 & 0] e T a transformação linear associada à matriz A.
Determine uma base para o subespaço (Nuc(T))^perp, o complemento ortogonal do subespaço nulo de T.

Passo 1

O enunciado dá a matriz
A = 1 & 0 & 2 & 1 0 & 1 & 0 & 1 -1& 0 & 0 & 0
e pede uma base de (Nuc(T))^perp, onde TcolonR^4toR^3 é a transformação associada a A.
Conteúdo: espaços ortogonais em R^n, lembrando que o complemento ortogonal do núcleo é o espaço das linhas da matriz.

Passo 2

Teorema: para qualquer matriz A, vale
(Nuc(A))^perp = Row(A),
isto é, o complemento ortogonal do núcleo é gerado pelas linhas de A.

Passo 3

As três linhas de A são
ell1 = (1,0,2,1), ell2 = (0,1,0,1), ell3 = (-1,0,0,0)
Basta verificar que ell1,ell2,ell3 são linearmente independentes (cada uma traz um pivô em colunas distintas) e portanto formam base de Row(A).

Resposta

Uma base para (Nuc(T))^perp é
, (1,0,2,1),;(0,1,0,1),;(-1,0,0,0)

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