Sejam os complexos Z_{1}=4\left[\cos \left(60^{\circ}\right)+i \cdot \operatorname{sen}\left(60^{\circ}\right)\right] e Z_{2}=\frac{1}{2}\left[\cos \left(90^{\circ}\right)+i \cdot \operatorname{sen}(90)\right]. A forma algébrica do complexo Z=Z_{1} \cdot Z_{2} é

Passo 1

O enunciado dá dois números complexos em forma trigonométrica e pede a forma algébrica (isto é, a+bi) do produto Z = Z_{1}\cdot Z_{2}.
Informações fornecidas:
Z_{1}=4\bigl[\cos\left(60^{\circ}\right)+i\sin\left(60^{\circ}\right)\bigr]
Z_{2}=\tfrac{1}{2}\bigl[\cos\left(90^{\circ}\right)+i\sin\left(90^{\circ}\right)\bigr]
O que se pede:
  • Calcular Z = Z_{1}\cdot Z_{2} e escrever o resultado na forma algébrica a+bi.

Passo 2

Vamos aprender uma regra muito útil: ao multiplicar dois complexos em forma trigonométrica
r_{1}\bigl[\cos\alpha + i\sin\alpha\bigr]\quad\text{e}\quad r_{2}\bigl[\cos\beta + i\sin\beta\bigr],
o produto é
r_{1}r_{2}\bigl[\cos(\alpha+\beta)+i\sin(\alpha+\beta)\bigr].
Por que isso é verdade? Expandindo o produto das duas partes internas:
(\cos\alpha + i\sin\alpha)(\cos\beta + i\sin\beta)
= \cos\alpha\cos\beta + i\cos\alpha\sin\beta + i\sin\alpha\cos\beta + i^{2}\sin\alpha\sin\beta
= (\cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta) + i(\cos\alpha\sin\beta + \sin\alpha\cos\beta).
Agora reconhecemos as fórmulas de adição trigonométrica:
\cos(\alpha+\beta)=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta,
\sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta.
Logo o produto interno é \cos(\alpha+\beta)+i\sin(\alpha+\beta), e multiplicando pelos módulos r_{1}r_{2} obtemos a regra acima.

Passo 3

Aplicando a regra ao nosso problema:
aqui r_{1}=4, \alpha=60^{\circ}; r_{2}=\tfrac{1}{2}, \beta=90^{\circ}.
Multiplicamos os módulos e somamos os argumentos:
r_{1}r_{2}=4\cdot\tfrac{1}{2}=2,
\alpha+\beta=60^{\circ}+90^{\circ}=150^{\circ}.
Portanto
Z=2\bigl[\cos(150^{\circ})+i\sin(150^{\circ})\bigr].

Passo 4

Agora vamos calcular \cos(150^{\circ}) e \sin(150^{\circ}). Use a identidade dos ângulos suplementares:
150^{\circ}=180^{\circ}-30^{\circ},
então
\cos(150^{\circ})=-\cos(30^{\circ}),\qquad \sin(150^{\circ})=\sin(30^{\circ}).
Sabemos (triângulo especial de 30^\circ- 60^\circ- 90^\circ) que
\cos(30^{\circ})=\tfrac{\sqrt{3}}{2},\qquad \sin(30^{\circ})=\tfrac{1}{2}.
Logo
\cos(150^{\circ})=-\tfrac{\sqrt{3}}{2},\qquad \sin(150^{\circ})=\tfrac{1}{2}.

Passo 5

Substituindo em Z:
Z=2\Bigl[-\tfrac{\sqrt{3}}{2}+i\cdot\tfrac{1}{2}\Bigr].
Distribuindo o 2:
Z=-\sqrt{3}+i.

Passo 6

Conclusão: a forma algébrica de Z é -\sqrt{3}+i. Você pode checar mentalmente: os fatores 2 no denominador se cancelaram com o 2 do módulo final, sobrando -\sqrt{3} na parte real e 1 na parte imaginária — bem simples no final!

Resposta

-\sqrt{3}+i

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