Sejam os complexos
e
. A forma algébrica do complexo
é
Passo 1
O enunciado dá dois números complexos em forma trigonométrica e pede a forma algébrica (isto é,
) do produto
.
Informações fornecidas:
O que se pede:
- Calcular
e escrever o resultado na forma algébrica .
Passo 2
Vamos aprender uma regra muito útil: ao multiplicar dois complexos em forma trigonométrica
o produto é
Por que isso é verdade? Expandindo o produto das duas partes internas:
Agora reconhecemos as fórmulas de adição trigonométrica:
Logo o produto interno é
, e multiplicando pelos módulos
obtemos a regra acima.
Passo 3
Aplicando a regra ao nosso problema:
aqui ,
;
,
.
Multiplicamos os módulos e somamos os argumentos:
aqui
Multiplicamos os módulos e somamos os argumentos:
Portanto
Passo 4
Agora vamos calcular
e
. Use a identidade dos ângulos suplementares:
então
Sabemos (triângulo especial de
-
-
) que
Logo
Passo 5
Substituindo em
:
Distribuindo o
:
Passo 6
Conclusão: a forma algébrica de
é
. Você pode checar mentalmente: os fatores
no denominador se cancelaram com o
do módulo final, sobrando
na parte real e
na parte imaginária — bem simples no final!