Sejam
conjuntos e
definida por:
se
, e
se
. Determine condições necessárias e suficientes para
ser
Injetora.
Injetora.
Passo 1
Estamos com o conjunto
é a função indicadora de
, definida por
O conteúdo aqui é a noção de injetividade: só acontecerem quando
.
Passo 2
Para
fB ser injetora precisamos que, sempre que
xneq y em
A , ocorra
Mas
fB só assume os valores 0 e 1. Logo, não pode haver dois pontos distintos mapeados em 0, nem dois mapeados em 1.
Passo 3
O conjunto dos que vão para 1 é
e o dos que vão para 0 é
Para não ter colisão de imagem, cada um desses conjuntos deve ter no máximo um elemento:
Passo 4
Interpretando em termos de tamanho de
A :
- Se
, então|A|>=3 e um dos dois excede 1, logo|B|+|Asetminus B|=|A|>=3 não pode ser injetora.fB - Se
, temos|A|=2 e|B|<=1 só se|Asetminus B|<=1 .|B|=1 - Se
, vale sempre|A|<=1 e|B|<=1 , então qualquer|Asetminus B|<=1 dá injetividade.B
Resposta
A função
fB é injetora se, e somente se,