Sejam B subseteq A conjuntos e fB: A 0,1 definida por: fB(x)=0 se x notin B, e fB(x)=1 se x in B. Determine condições necessárias e suficientes para fB ser
Injetora.

Passo 1

Estamos com o conjunto
é a função indicadora de , definida por
O conteúdo aqui é a noção de injetividade: só acontecerem quando .

Passo 2

Para fB ser injetora precisamos que, sempre que xneq y em A, ocorra
fB(x)neq fB(y)
Mas fB só assume os valores 0 e 1. Logo, não pode haver dois pontos distintos mapeados em 0, nem dois mapeados em 1.

Passo 3

O conjunto dos que vão para 1 é
fB^-1(1)=B,
e o dos que vão para 0 é
fB^-1(0)=Asetminus B
Para não ter colisão de imagem, cada um desses conjuntos deve ter no máximo um elemento:
|B|<=1 e |Asetminus B|<=1

Passo 4

Interpretando em termos de tamanho de A:
  • Se |A|>=3, então |B|+|Asetminus B|=|A|>=3 e um dos dois excede 1, logo fB não pode ser injetora.
  • Se |A|=2, temos |B|<=1 e |Asetminus B|<=1 só se |B|=1.
  • Se |A|<=1, vale sempre |B|<=1 e |Asetminus B|<=1, então qualquer B dá injetividade.

Resposta

A função fB é injetora se, e somente se,
|B|<=1 e |Asetminus B|<=1

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