Sejam
conjuntos enumeráveis. Mostre que o conjunto abaixo é enumerável.
Passo 1
Então, vamos lá! O exercício pede para a gente mostrar que o conjunto
é enumerável, ou seja, que dá para listar todos os seus elementos de forma ordenada. A matéria aqui envolve conjuntos enumeráveis e produtos cartesianos. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa um conjunto ser enumerável e como podemos combinar conjuntos enumeráveis para formar novos conjuntos também enumeráveis.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um conjunto enumerável. Um conjunto é enumerável se a gente consegue listar todos os seus elementos numa sequência infinita, tipo 1, 2, 3, e assim por diante. Por exemplo, os números naturais
são enumeráveis. Mesmo conjuntos infinitos como os números inteiros e racionais também são enumeráveis porque podemos fazer listas que os contem sem pular nenhum.
Passo 3
Agora, vamos falar sobre o produto cartesiano. Quando a gente forma
, estamos criando todas as tuplas possíveis onde o primeiro elemento vem de
, o segundo de
, e assim por diante até o
-ésimo elemento de
. Por exemplo, se
e
, então
.
Passo 4
O desafio aqui é mostrar que mesmo com vários conjuntos multiplicados, se cada um é enumerável, o resultado também é enumerável. A ideia é conseguir criar uma lista que inclua todas essas tuplas sem faltar nenhuma. Uma estratégia comum para provar isso é usar uma técnica de enumeração que organiza as tuplas de forma sistemática.
Passo 5
Vamos supor que cada
para
seja enumerado por uma sequência infinita, tipo
. Assim, cada elemento da tupla
pode ser identificado por índices
onde
.
Passo 6
Para listar todas as possíveis tuplas, podemos usar uma ordenação por soma dos índices. Ou seja, vamos considerar a soma
e listar todas as tuplas onde essa soma é igual a 2, depois a 3, e assim por diante. Dentro de cada bloco com a mesma soma, listamos as tuplas de forma consistente.
Passo 7
Dessa forma, garantimos que cada tupla aparecerá em algum ponto da nossa lista, pois para cada combinação de índices, existe uma soma
correspondente. Como estamos listando todas as possibilidades de soma
, cobrimos todas as tuplas possíveis em
.
Passo 8
Portanto, conseguimos criar uma sequência infinita que inclui todas as tuplas de
, mostrando que esse conjunto é enumerável.
Resposta
O conjunto
é enumerável.