Sejam X1, X2, ldots, Xk conjuntos enumeráveis. Mostre que o conjunto abaixo é enumerável.
X1 times X2 times cdots times Xk=(x1, x2, ldots, xn) ; xj in Xj, paraj =1,2, ldots, k

Passo 1

Então, vamos lá! O exercício pede para a gente mostrar que o conjunto X1 times X2 times cdots times Xk é enumerável, ou seja, que dá para listar todos os seus elementos de forma ordenada. A matéria aqui envolve conjuntos enumeráveis e produtos cartesianos. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa um conjunto ser enumerável e como podemos combinar conjuntos enumeráveis para formar novos conjuntos também enumeráveis.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um conjunto enumerável. Um conjunto é enumerável se a gente consegue listar todos os seus elementos numa sequência infinita, tipo 1, 2, 3, e assim por diante. Por exemplo, os números naturais N = 1, 2, 3, ldots são enumeráveis. Mesmo conjuntos infinitos como os números inteiros e racionais também são enumeráveis porque podemos fazer listas que os contem sem pular nenhum.

Passo 3

Agora, vamos falar sobre o produto cartesiano. Quando a gente forma X1 times X2 times cdots times Xk , estamos criando todas as tuplas possíveis onde o primeiro elemento vem de X1 , o segundo de X2 , e assim por diante até o k -ésimo elemento de Xk . Por exemplo, se X1 = a, b e X2 = 1, 2 , então X1 times X2 = (a,1), (a,2), (b,1), (b,2) .

Passo 4

O desafio aqui é mostrar que mesmo com vários conjuntos multiplicados, se cada um é enumerável, o resultado também é enumerável. A ideia é conseguir criar uma lista que inclua todas essas tuplas sem faltar nenhuma. Uma estratégia comum para provar isso é usar uma técnica de enumeração que organiza as tuplas de forma sistemática.

Passo 5

Vamos supor que cada Xj para j = 1, 2, ldots, k seja enumerado por uma sequência infinita, tipo Xj = xj,1, xj,2, xj,3, ldots . Assim, cada elemento da tupla (x1, x2, ldots, xk) pode ser identificado por índices (n1, n2, ldots, nk) onde xj = xj,nj .

Passo 6

Para listar todas as possíveis tuplas, podemos usar uma ordenação por soma dos índices. Ou seja, vamos considerar a soma S = n1 + n2 + ldots + nk e listar todas as tuplas onde essa soma é igual a 2, depois a 3, e assim por diante. Dentro de cada bloco com a mesma soma, listamos as tuplas de forma consistente.

Passo 7

Dessa forma, garantimos que cada tupla aparecerá em algum ponto da nossa lista, pois para cada combinação de índices, existe uma soma S correspondente. Como estamos listando todas as possibilidades de soma S , cobrimos todas as tuplas possíveis em X1 times X2 times cdots times Xk .

Passo 8

Portanto, conseguimos criar uma sequência infinita que inclui todas as tuplas de X1 times X2 times cdots times Xk , mostrando que esse conjunto é enumerável.

Resposta

O conjunto X1 times X2 times cdots times Xk é enumerável.

Exercícios relacionados