Sejam A1 e A2 enumeráveis. Defina f: N A1 cup A2 sobrejetiva. Conclua daqui que A1 cup A2 é enumerável.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre dois conjuntos, A1 e A2 , que são enumeráveis, ou seja, podemos listar seus elementos em uma sequência contável. Além disso, temos uma função f: N A1 cup A2 que é sobrejetiva, o que significa que cada elemento de A1 cup A2 é atingido por pelo menos um número natural pela função f . Nosso objetivo é mostrar que a união desses dois conjuntos, A1 cup A2 , também é enumerável. Vamos precisar entender um pouco sobre conjuntos enumeráveis e funções sobrejetivas para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa um conjunto ser enumerável. Um conjunto é enumerável se podemos listar seus elementos em uma sequência infinita, como a1, a2, a3, dots . Isso quer dizer que há uma correspondência um a um entre os números naturais N e os elementos do conjunto. Então, se A1 e A2 são enumeráveis, podemos imaginar que conseguimos listá-los dessa forma.

Passo 3

Agora, considerando a função f: N A1 cup A2 que é sobrejetiva, isso significa que para cada elemento em A1 cup A2 , existe pelo menos um número natural que é mapeado para ele por f . Em outras palavras, todos os elementos da união estão cobertos pela imagem da função f .

Passo 4

Para concluir que A1 cup A2 é enumerável, basta observar que a imagem de uma função sobrejetiva de N para A1 cup A2 também é enumerável. Isso porque conseguimos associar cada elemento da união a um número natural específico, estabelecendo uma correspondência um a um. Logo, a união dos dois conjuntos enumeráveis continua sendo enumerável.

Resposta

Portanto, concluímos que A1 cup A2 é um conjunto enumerável.

Exercícios relacionados