Sejam
e
enumeráveis. Defina
sobrejetiva. Conclua daqui que
é enumerável.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre dois conjuntos,
e
, que são enumeráveis, ou seja, podemos listar seus elementos em uma sequência contável. Além disso, temos uma função
que é sobrejetiva, o que significa que cada elemento de
é atingido por pelo menos um número natural pela função
. Nosso objetivo é mostrar que a união desses dois conjuntos,
, também é enumerável. Vamos precisar entender um pouco sobre conjuntos enumeráveis e funções sobrejetivas para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa um conjunto ser enumerável. Um conjunto é enumerável se podemos listar seus elementos em uma sequência infinita, como
. Isso quer dizer que há uma correspondência um a um entre os números naturais
e os elementos do conjunto. Então, se
e
são enumeráveis, podemos imaginar que conseguimos listá-los dessa forma.
Passo 3
Agora, considerando a função
que é sobrejetiva, isso significa que para cada elemento em
, existe pelo menos um número natural que é mapeado para ele por
. Em outras palavras, todos os elementos da união estão cobertos pela imagem da função
.
Passo 4
Para concluir que
é enumerável, basta observar que a imagem de uma função sobrejetiva de
para
também é enumerável. Isso porque conseguimos associar cada elemento da união a um número natural específico, estabelecendo uma correspondência um a um. Logo, a união dos dois conjuntos enumeráveis continua sendo enumerável.
Resposta
Portanto, concluímos que
é um conjunto enumerável.