Sejam
e
curvas parametrizadas e
uma função real, contínuas no intervalo aberto
. Prove que:
Se os traços de
e
estão contidos em
, prove que
é contínua em
.
Se os traços de
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, dadas duas curvas parametrizadas
e
contínuas, a curva definida ponto a ponto pelo produto vetorial
é também contínua. O conteúdo principal aqui é que soma, subtração e produto de funções reais contínuas são contínuos, e que o produto vetorial em se escreve em termos dessas operações.
é também contínua. O conteúdo principal aqui é que soma, subtração e produto de funções reais contínuas são contínuos, e que o produto vetorial em
Passo 2
Escrevemos o produto vetorial em coordenadas. Se
e
,
então
e
então
Passo 3
Como
e
são contínuas, cada componente
e
é função real contínua em
. Por hipótese, soma, subtração e produto de funções contínuas são contínuos, logo, por exemplo,
e
são contínuas,
e portanto a diferença
é contínua. O mesmo raciocínio vale para as outras duas coordenadas.
e portanto a diferença
Passo 4
Como as três coordenadas de
são combinações de somas, produtos e subtrações de funções contínuas, cada uma delas é contínua. Portanto
tem todas as suas componentes contínuas e, por definição, é uma curva contínua em .
tem todas as suas componentes contínuas e, por definição, é uma curva contínua em