Sejam alpha e beta curvas parametrizadas e f uma função real, contínuas no intervalo aberto (a, b). Prove que:
Se os traços de alpha e beta estão contidos em R^3, prove que alpha times beta é contínua em (a, b).

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, dadas duas curvas parametrizadas
alphacolon (a,b)toR^3 e betacolon (a,b)toR^3 contínuas, a curva definida ponto a ponto pelo produto vetorial
alphatimesbetacolon (a,b)toR^3
é também contínua. O conteúdo principal aqui é que soma, subtração e produto de funções reais contínuas são contínuos, e que o produto vetorial em R^3 se escreve em termos dessas operações.

Passo 2

Escrevemos o produto vetorial em coordenadas. Se
alpha(t)=(alpha1(t),alpha2(t),alpha3(t))
e
beta(t)=(beta1(t),beta2(t),beta3(t)),
então
alpha(t)timesbeta(t) = l(, alpha2(t),beta3(t)-alpha3(t),beta2(t),; alpha3(t),beta1(t)-alpha1(t),beta3(t),; alpha1(t),beta2(t)-alpha2(t),beta1(t) ,r)

Passo 3

Como alpha e beta são contínuas, cada componente alphai(t) e betai(t) é função real contínua em (a,b). Por hipótese, soma, subtração e produto de funções contínuas são contínuos, logo, por exemplo,
alpha2(t),beta3(t) e alpha3(t),beta2(t) são contínuas,
e portanto a diferença
alpha2(t),beta3(t)-alpha3(t),beta2(t) é contínua. O mesmo raciocínio vale para as outras duas coordenadas.

Passo 4

Como as três coordenadas de alpha(t)timesbeta(t) são combinações de somas, produtos e subtrações de funções contínuas, cada uma delas é contínua. Portanto
alphatimesbetacolon (a,b)toR^3
tem todas as suas componentes contínuas e, por definição, é uma curva contínua em (a,b).

Resposta

alphatimesbeta é contínua em (a,b).

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