Sejam d, a, b \in \mathbb{Z}, onde d \neq 0.
Se a \mid b e b \mid a se, e somente se |a|=|b|

Passo 1

O enunciado pede para provar, usando a definição de divisibilidade em \mathbb{Z}, que
a\mid b\\ \text{e}\\ b\mid a \quad\Longleftrightarrow\quad \lvert a\rvert = \lvert b\rvert.
Isso está em teoria de divisibilidade: x\mid y significa “existe inteiro c tal que y = x\,c”, com x\neq 0.

Passo 2

(Prova de “ \Longrightarrow”)
Suponha a\mid b e b\mid a. Então existem inteiros k e l tais que
b = a\,k \quad\text{e}\quad a = b\,l.
Substituindo b na segunda igualdade:
a = (a\,k)\,l = a\,(k\,l).
Logo,
a - a\,(k\,l)=0 \quad\Longrightarrow\quad a\bigl(1 - k\,l\bigr)=0.
Como pela definição de divisibilidade a\neq 0, segue 1 - k\,l=0, ou seja
k\,l = 1.
Nos inteiros, os únicos pares (k,l) que satisfazem k\,l=1 são (1,1) ou (-1,-1). Portanto
b = a\,k = a \quad\text{ou}\quad b = a\,k = -a,
e em qualquer dos casos \lvert b\rvert = \lvert a\rvert.

Passo 3

(Prova de “ \Longleftarrow”)
Suponha agora \lvert a\rvert = \lvert b\rvert. Então b = a ou b = -a.
  • Se b=a, tome o quociente k=1 em b=a\,k e l=1 em a=b\,l.
  • Se b=-a, tome k=-1 e l=-1.
    Em ambos os casos vemos explicitamente que existe inteiro que faz b=a\,k e outro que faz a=b\,l. Logo a\mid b e b\mid a.

Resposta

Ficou demonstrado que
a\mid b\\ \text{e}\\ b\mid a \quad\Longleftrightarrow\quad \lvert a\rvert = \lvert b\rvert.

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