Sejam
, onde
.
Se
e
se, e somente se
Se
Passo 1
O enunciado pede para provar, usando a definição de divisibilidade em
, que
Isso está em teoria de divisibilidade:
significa “existe inteiro
tal que
”, com
.
Passo 2
(Prova de “
”)
Suponha e
. Então existem inteiros
e
tais que
Suponha
Substituindo
na segunda igualdade:
Logo,
Como pela definição de divisibilidade
, segue
, ou seja
Nos inteiros, os únicos pares
que satisfazem
são
ou
. Portanto
e em qualquer dos casos
.
Passo 3
(Prova de “
”)
Suponha agora . Então
ou
.
Suponha agora
- Se
, tome o quociente em e em . - Se
, tome e .
Em ambos os casos vemos explicitamente que existe inteiro que faze outro que faz . Logo e .
Resposta
Ficou demonstrado que