Sejam u1=(1,2,-1), u2=(a, 0,1) e u3=(1, b, c) e T um operador linear em R^3 tal que Im T=[u1, u2, u3].
(c) Para que valores de a, b e c o núcleo de T terá dimensão 2?

Passo 1

O enunciado pede os valores de a,b,c tais que dimker T=2. Pelo Teorema do posto e da nulidade vale
dimker T + dimImT = 3
Logo, para dimker T=2 precisamos de
dimImT = 1
Isto significa que os vetores u1,u2,u3 devem estar todos em uma mesma reta, ou seja, ser colineares.

Passo 2

Para ter colinearidade, basta exigir que u2 seja múltiplo de u1. Escrevemos
u2 = alpha,u1,
isto é,
(a,0,1)=alpha,(1,2,-1),
que gera o sistema
a=alpha, 0=2alpha, 1=-alpha

Passo 3

Da segunda equação vem alpha=0, mas isso tornaria a terceira 1=-0, ou seja 1=0, impossível. Logo não existe alphainR que faça u2 colinear com u1.

Resposta

Não existem valores reais de a,b,c que façam dimker T=2.

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