Suponha que o polinômio característico do operador linear
seja
. Responda justificando cada ítem
(f) Seja
um conjunto L.I. de autovetores de
, todos associados ao mesmo autovalor. O que podemos dizer sobre este autovalor?
(f) Seja
Passo 1
O enunciado diz que
tem polinômio característico
e que existe um conjunto de três vetores
linearmente independentes, todos autovetores de
associados ao mesmo autovalor
. Precisamos usar a relação entre multiplicidade geométrica (número de autovetores independentes) e multiplicidade algébrica (expoente de
em
).
Passo 2
Definimos a multiplicidade geométrica de
como
, onde
Como temos três autovetores independentes para
, a multiplicidade geométrica de
satisfaz
Passo 3
Um resultado fundamental de Álgebra Linear diz que, para todo autovalor
, sua multiplicidade geométrica jamais ultrapassa a multiplicidade algébrica. Em símbolos,
Como
, concluímos
Passo 4
Do polinômio
vemos que as multiplicidades algébricas dos autovalores são:
– para :
,
– para :
,
– para :
,
– para :
.
Logo, os únicos autovalores cuja multiplicidade algébrica é ao menos são
(com expoente
) e
(com expoente
).
– para
– para
– para
– para
Logo, os únicos autovalores cuja multiplicidade algébrica é ao menos
Resposta
O autovalor
deve ter multiplicidade algébrica
, portanto
é ou
ou
.