Suponha que o polinômio característico do operador linear T seja p(x)=x(x+2)^2(x-2)^3(x-3)^4. Responda justificando cada ítem
(f) Seja v1, v2, v3 um conjunto L.I. de autovetores de T, todos associados ao mesmo autovalor. O que podemos dizer sobre este autovalor?

Passo 1

O enunciado diz que T tem polinômio característico
p(x)=x(x+2)^2(x-2)^3(x-3)^4
e que existe um conjunto de três vetores v1,v2,v3 linearmente independentes, todos autovetores de T associados ao mesmo autovalor lambda. Precisamos usar a relação entre multiplicidade geométrica (número de autovetores independentes) e multiplicidade algébrica (expoente de lambda em p(x)).

Passo 2

Definimos a multiplicidade geométrica de lambda como dim Elambda, onde
Elambda = vneq0 : T(v)=lambda v
Como temos três autovetores independentes para lambda, a multiplicidade geométrica de lambda satisfaz
dim Elambda;>=;3

Passo 3

Um resultado fundamental de Álgebra Linear diz que, para todo autovalor lambda, sua multiplicidade geométrica jamais ultrapassa a multiplicidade algébrica. Em símbolos,
dim Elambda;<=;mu<alg(lambda)
Como dim Elambda>=3, concluímos
mu<alg(lambda);>=;3

Passo 4

Do polinômio
p(x)=x^1(x+2)^2(x-2)^3(x-3)^4
vemos que as multiplicidades algébricas dos autovalores são:
– para 0: 1,
– para -2: 2,
– para 2: 3,
– para 3: 4.
Logo, os únicos autovalores cuja multiplicidade algébrica é ao menos 3 são 2 (com expoente 3) e 3 (com expoente 4).

Resposta

O autovalor lambda deve ter multiplicidade algébrica >=3, portanto lambda é ou 2 ou 3.

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