Sejam dadas as matrizes A, B e C:
A=[rrr 2 & 0 & 3 8 & -3 & 10 2 & 0 & 7 ], B=[rrr 78 & 0 & -38 32 & -13 & -16 -14 & 0 & 14 ], C=[rrr 0 & 0 & 2 0 & 0 & 1 -3 & 1 & 0 ]
Mostre que A B=B A e A C neq C A;

Passo 1

O enunciado nos dá três matrizes A, B e C em R^3times3. Precisamos verificar se A B = B A e se A C neq C A. Para isso, vamos usar a definição de multiplicação de matrizes, em que cada elemento do produto é o produto escalar de uma linha pela coluna correspondente.

Passo 2

Cálculo de A B. Escrevendo
A = 2 & 0 & 3 8 & -3 & 10 2 & 0 & 7 , B = 78 & 0 & -38 32 & -13 & -16 -14 & 0 & 14 ,
o elemento (AB)ij é dado por
(AB)ij = sumk=1^3 Aik,Bkj
Fazendo as contas linha a linha, obtemos
AB = 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1

Passo 3

Cálculo de B A. Agora
B = 78 & 0 & -38 32 & -13 & -16 -14 & 0 & 14 , A = 2 & 0 & 3 8 & -3 & 10 2 & 0 & 7 ,
e cada (BA)ij=sumk=1^3 Bik,Akj. Calculando, achamos
BA = 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1

Passo 4

Como AB = BA = I3, concluímos que A e B comutam, isto é,
A B = B A

Passo 5

Cálculo de A C. Com
A = 2 & 0 & 3 8 & -3 & 10 2 & 0 & 7 , C = 0 & 0 & 2 0 & 0 & 1 -3 & 1 & 0 ,
obtemos
AC = -9 & 3 & 4 -30 & 10 & 13 -21 & 7 & 4

Passo 6

Cálculo de C A. Usando as mesmas A e C, chega-se a
CA = 4 & 0 & 14 2 & 0 & 7 2 & -3 & 1

Passo 7

Comparando as matrizes, vemos claramente que
AC neq CA,
logo A e C não comutam.

Resposta

A B = B A = I3 e A C neq C A.

Exercícios relacionados