Sejam
despesa com viagem (em unidades monetárias-u.m) e
duração da viagem (em dias). Um modelo de regressão sendo
foi ajustado. Para uma amostra de n=102, obteve-se:
Após uma reestruturação na empresa, o administrador quer saber se houve redução na despesa média com viagens diárias, que historicamente eram iguais a 13 , ou seja
e
. Considere as seguintes assertivas:
- Empregando
, a hipótese nula é falsa, pois a estatística de teste é igual
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício que você enviou fala sobre um modelo de regressão linear simples, onde estamos tentando entender a relação entre a duração de uma viagem (
, em dias) e a despesa com essa viagem (
, em unidades monetárias). A gente recebeu alguns dados somados das variáveis e precisa testar se, depois de uma reestruturação na empresa, houve uma redução na despesa média com viagens diárias. Para isso, temos que verificar se o coeficiente
é menor que 13. Vamos precisar usar conceitos de regressão linear e teste de hipóteses para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é um modelo de regressão linear simples. A equação
nos diz que a despesa (
) depende da duração da viagem (
), onde
é o intercepto,
é o coeficiente angular, e
é o erro.
Para encontrar os valores de
e
que melhor ajustam os dados, usamos as fórmulas dos estimadores de mínimos quadrados:
Onde:
-
é o número de observações (n=102) -
, , , são dados fornecidos.
Vamos calcular esses estimadores primeiro.
Passo 3
Vamos calcular
usando os valores fornecidos:
Calculando o numerador:
Calculando o denominador:
Então:
Agora, vamos calcular
:
Primeiro, encontramos as médias de
e
:
Então:
Passo 4
Agora que temos
, vamos testar a hipótese:
- Hipótese Nula (
): - Hipótese Alternativa (
):
Queremos ver se há evidências suficientes para afirmar que
é menor que 13. Para isso, usamos um teste t.
Primeiro, precisamos calcular o erro padrão de
. A fórmula é:
Onde
é a soma dos quadrados dos erros, que pode ser calculada usando:
Vamos calcular
:
Agora, calculamos o denominador para o SE:
Então:
Passo 5
Com o erro padrão, podemos calcular o valor t da estatística de teste:
Agora, precisamos comparar esse valor t com o valor crítico para um teste unilateral com nível de significância
. Para
, o valor crítico de t é aproximadamente -1.660 (consultando uma tabela t ou usando uma calculadora).
Como nosso t calculado (-3.81) é menor que o valor crítico (-1.660), rejeitamos a hipótese nula.
Resposta
A estatística de teste calculada é aproximadamente
, que é menor que o valor crítico de
para
. Portanto, rejeitamos a hipótese nula e concluímos que houve uma redução significativa na despesa média com viagens diárias após a reestruturação da empresa.