Sejam Y= despesa com viagem (em unidades monetárias-u.m) e X= duração da viagem (em dias). Um modelo de regressão sendo Y=beta0+beta1 X+e foi ajustado. Para uma amostra de n=102, obteve-se:
sumi=1^n Yi=7140 ; sumi=1^n Xi=510 ; sumi=1^n Yi^2=740200 ; sumi=1^n Xi^2=4150 ; sumi=1^n Xi Yi=54900
Após uma reestruturação na empresa, o administrador quer saber se houve redução na despesa média com viagens diárias, que historicamente eram iguais a 13 , ou seja H0: beta1=13 e H1: beta1<13. Considere as seguintes assertivas:
  1. Empregando alpha=0.05, a hipótese nula é falsa, pois a estatística de teste é igual t=-4<-1,96.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício que você enviou fala sobre um modelo de regressão linear simples, onde estamos tentando entender a relação entre a duração de uma viagem ( X, em dias) e a despesa com essa viagem ( Y, em unidades monetárias). A gente recebeu alguns dados somados das variáveis e precisa testar se, depois de uma reestruturação na empresa, houve uma redução na despesa média com viagens diárias. Para isso, temos que verificar se o coeficiente beta1 é menor que 13. Vamos precisar usar conceitos de regressão linear e teste de hipóteses para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é um modelo de regressão linear simples. A equação Y = beta0 + beta1 X + e nos diz que a despesa ( Y) depende da duração da viagem ( X), onde beta0 é o intercepto, beta1 é o coeficiente angular, e e é o erro.
Para encontrar os valores de beta0 e beta1 que melhor ajustam os dados, usamos as fórmulas dos estimadores de mínimos quadrados:
beta1 = nsum XY - sum X sum Ynsum X^2 - (sum X)^2
beta0 = barY - beta1 barX
Onde:
  • n é o número de observações (n=102)
  • sum Y, sum X, sum XY, sum X^2 são dados fornecidos.
Vamos calcular esses estimadores primeiro.

Passo 3

Vamos calcular beta1 usando os valores fornecidos:
beta1 = 102 times 54900 - 510 times 7140102 times 4150 - 510^2
Calculando o numerador:
102 times 54900 = 5,599,800 510 times 7140 = 3,635,400 5,599,800 - 3,635,400 = 1,964,400
Calculando o denominador:
102 times 4150 = 423,300 510^2 = 260,100 423,300 - 260,100 = 163,200
Então:
beta1 = 1,964,400163,200 = 12.05
Agora, vamos calcular beta0:
Primeiro, encontramos as médias de X e Y:
barX = sum Xn = 510102 = 5 barY = sum Yn = 7140102 = 70
Então:
beta0 = 70 - 12.05 times 5 = 70 - 60.25 = 9.75

Passo 4

Agora que temos beta1 = 12.05, vamos testar a hipótese:
  • Hipótese Nula ( H0): beta1 = 13
  • Hipótese Alternativa ( H1): beta1 < 13
Queremos ver se há evidências suficientes para afirmar que beta1 é menor que 13. Para isso, usamos um teste t.
Primeiro, precisamos calcular o erro padrão de beta1. A fórmula é:
SEbeta1 = raizSSE(n-2) times ( sum X^2 - (sum X)^2n )
Onde SSE é a soma dos quadrados dos erros, que pode ser calculada usando:
SSE = sum Y^2 - beta0 sum Y - beta1 sum XY
Vamos calcular SSE:
SSE = 740200 - 9.75 times 7140 - 12.05 times 54900 SSE = 740200 - 69,615 - 660,645 = 740,200 - 730,260 = 9,940
Agora, calculamos o denominador para o SE:
sum X^2 - (sum X)^2n = 4150 - 510^2102 = 4150 - 260100102 = 4150 - 2549.02 = 1600.98
Então:
SEbeta1 = raiz9940(102-2) times 1600.98 = raiz9940100 times 1600.98 = raiz9940160098 approx raiz0.06213 approx 0.249

Passo 5

Com o erro padrão, podemos calcular o valor t da estatística de teste:
t = beta1 - beta1SEbeta1 = 12.05 - 130.249 = -0.950.249 approx -3.81
Agora, precisamos comparar esse valor t com o valor crítico para um teste unilateral com nível de significância alpha = 0.05. Para df = n - 2 = 100, o valor crítico de t é aproximadamente -1.660 (consultando uma tabela t ou usando uma calculadora).
Como nosso t calculado (-3.81) é menor que o valor crítico (-1.660), rejeitamos a hipótese nula.

Resposta

A estatística de teste calculada é aproximadamente t = -3.81, que é menor que o valor crítico de -1.660 para alpha = 0.05. Portanto, rejeitamos a hipótese nula e concluímos que houve uma redução significativa na despesa média com viagens diárias após a reestruturação da empresa.

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