Sejam p(x)=1-2 x, q(x)=x-x^2 e r(x)=-2+3 x+x^2. Determine se s(x) pertence a [p(x), q(x), r(x)] em cada um dos casos abaixo:
s(x)=3-5 x-x^2

Passo 1

O enunciado nos dá os polinômios
p(x)=1-2x, q(x)=x-x^2, r(x)=-2+3x+x^2
e pede para verificar se
s(x)=3-5x - x^2
pertence ao subespaço gerado por p,q,r, ou seja, se existem escalares a,b,c tais que
a,p(x) + b,q(x) + c,r(x) ;=; s(x)
O conteúdo aqui é “span” de polinômios em P2, usando combinação linear.

Passo 2

Escrevemos
al(1-2xr) ;+; bl(x - x^2r) ;+; cl(-2 + 3x + x^2r) ;=;3 - 5x - x^2
Expandindo e agrupando em potências de x, vamos igualar coeficientes.

Passo 3

Após expansão temos:
constante: \quad a - 2c
x: \quad -2a + b + 3c
x^2: \quad -b + c
devem coincidir com os coeficientes de 3 - 5x - x^2. Logo obtemos o sistema
a - 2c = 3, [6pt] -2a + b + 3c = -5, [6pt] -b + c = -1 ]

Passo 4

Da terceira equação vem
b = c + 1
Substituindo em -2a + b + 3c = -5 resulta
-2a + (c+1) + 3c = -5 ;Longrightarrow; -2a + 4c = -6 ;Longrightarrow; a - 2c = 3,
que é exatamente a primeira equação. Portanto o sistema tem duas equações independentes para três incógnitas e é compatível com infinitas soluções. Uma parametrização é
c = t, b = t + 1, a = 3 + 2t, tinR

Passo 5

Como existem a,b,c que satisfazem a combinação linear, concluímos que
s(x)in [,p(x),,q(x),,r(x),]

Resposta

Sim. s(x) pertence ao subespaço gerado por p,q,r, pois o sistema de coeficientes é compatível (infinitas soluções).

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