Sejam p(x)=1-2 x, q(x)=x-x^2 e r(x)=-2+3 x+x^2. Determine se s(x) pertence a [p(x), q(x), r(x)] em cada um dos casos abaixo:
s(x)=1+x+x^2

Passo 1

O enunciado nos dá os polinômios
p(x)=1-2x, q(x)=x-x^2, r(x)=-2+3x+x^2
e pede para verificar se
s(x)=1+x+x^2
pertence ao subespaço gerado por p,q,r, ou seja, se existe escalares a,b,c tais que
s(x)=a,p(x)+b,q(x)+c,r(x)

Passo 2

Supondo que exista tal combinação, escrevemos
1+x+x^2 = a(1-2x) + b(x - x^2) + c(-2+3x+x^2)

Passo 3

Igualando coeficientes de 1, x e x^2 em ambos os lados, obtemos o sistema
a - 2c = 1, -2a + b + 3c = 1, -,b + c = 1

Passo 4

Da terceira equação vem
-,b + c = 1Longrightarrow b = c - 1
Da primeira obtemos
a - 2c = 1Longrightarrow a = 1 + 2c
Substituindo a e b na segunda equação:
-2(1+2c) + (c-1) + 3c = 1 Longrightarrow -2 -4c + c -1 +3c = 1 Longrightarrow -3 = 1,
o que é impossível. Logo não há solução para a,b,c.

Resposta

s(x) não pertence ao subespaço [p(x),q(x),r(x)].

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