Sejam f(x)=sin ^2 x e g(x)=cos ^2 x. Determine se h(x) pertence a [f(x), g(x)] em cada um dos casos abaixo:
h(x)=1

Passo 1

O enunciado dá
f(x)=sin^2x,
g(x)=cos^2x
e pede para verificar se
h(x)=1
pertence ao intervalo fechado [f(x),,g(x)]. Vamos usar o fato de que o intervalo [f(x),g(x)] é o conjunto dos valores entre minf(x),g(x) e maxf(x),g(x).

Passo 2

Observamos que
f(x)+g(x)=sin^2x+cos^2x=1
e que sin^2x e cos^2x estão sempre em [0,1]. Logo
maxf(x),g(x)<=1
com igualdade se, e somente se, um dos termos for igual a 1. Para que 1 pertença ao intervalo [f(x),g(x)], é preciso e suficiente que
1<= maxf(x),g(x),,
isto é, que maxf(x),g(x)=1.

Passo 3

Temos maxsin^2x,cos^2x=1 exatamente quando
sin^2x=1oucos^2x=1
Isto acontece nos pontos
sin^2x=1iff x=pi2+kpi, cos^2x=1iff x=kpi,
com kin Z. Nesses x, o intervalo [f(x),g(x)] vale [0,1], que contém 1. Para os demais x, tem-se maxsin^2x,cos^2x<1, de modo que 1 fica fora do intervalo.

Resposta

h(x)=1 pertence a [f(x),g(x)] se, e somente se,
x=kpi ou x=pi2+kpi, kin Z

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