Sejam f(x)=sin ^2 x e g(x)=cos ^2 x. Determine se h(x) pertence a [f(x), g(x)] em cada um dos casos abaixo:
h(x)=cos (2 x)

Passo 1

O enunciado define as funções
f(x)=sin^2x, g(x)=cos^2x, h(x)=cos(2x)
e pede para determinar para quais x vale
h(x)in[f(x),g(x)],
onde [f(x),g(x)] significa [min(f(x),g(x)),,max(f(x),g(x))].

Passo 2

Note que
f(x)+g(x)=sin^2x+cos^2x=1, g(x)-f(x)=cos^2x-sin^2x=cos(2x)
Logo há dois casos:
  1. Se cos(2x)>=0, então sin^2x<=cos^2x e o intervalo é [sin^2x,cos^2x].
  2. Se cos(2x)<=0, então cos^2x<=sin^2x e o intervalo é [cos^2x,sin^2x].

Passo 3

Caso cos(2x)>=0:
precisamos de
sin^2x<=cos(2x)<=cos^2x
Calculamos separadamente:
a)
cos(2x)<=cos^2x ;Long<=ftrightarrow; cos(2x)<=1+cos(2x)2,
que é sempre verdadeiro ( cos(2x)<=1).
b)
sin^2x<=cos(2x) ;Long<=ftrightarrow; 1-cos(2x)2<=cos(2x) ;Long<=ftrightarrow; cos(2x)>=13
Logo, quando cos(2x)>=0, a condição h(x)in[sin^2x,cos^2x] equivale a cos(2x)>=tfrac13.

Passo 4

Caso cos(2x)<=0:
o intervalo é [cos^2x,sin^2x] e exigir
cos^2x<=cos(2x)<=sin^2x
leva a cos(2x)>=1 (impossível se cos(2x)<=0).
Portanto não há solução para cos(2x)<=0.
Combinando, concluímos que
cos(2x)in[f(x),g(x)] Long<=ftrightarrow cos(2x)>=13
Isto equivale a
2xinl[-arccosl(tfrac13r)+2pi k,;arccosl(tfrac13r)+2pi kr],
ou seja
xinl[-tfrac12arccosl(tfrac13r)+pi k,;tfrac12arccosl(tfrac13r)+pi kr], kinZ

Resposta

xincupkinZ l[-tfrac12arccosl(tfrac13r)+pi k,;tfrac12arccosl(tfrac13r)+pi kr]

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