Sejam f(x)=sin ^2 x e g(x)=cos ^2 x. Determine se h(x) pertence a [f(x), g(x)] em cada um dos casos abaixo:
h(x)=sin (2 x)

Passo 1

O enunciado dá as funções
f(x)=sin^2x, g(x)=cos^2x, h(x)=sin(2x)
e pede para verificar, para cada x, se
h(x)inl[f(x),,g(x)r],
isto é, se
minsin^2x,cos^2x;<=;sin(2x);<=;maxsin^2x,cos^2x
Para resolver isso, vamos transformar tudo em termos de tan x e separar dois casos: |tan x|<=1 e |tan x|>=1.

Passo 2

Note primeiro que sin^2x e cos^2x são sempre não-negativas, mas sin(2x) pode ser negativa. Logo, condição necessária para pertencer ao intervalo é
sin(2x)>=0 Long<=ftrightarrow 2xequiv yin[2kpi,;2kpi+pi] Long<=ftrightarrow xinl[kpi,;kpi+tfracpi2r],
com kin Z. A partir de agora restringimos a análise a x tais que sin(2x)>=0.

Passo 3

Caso |tan x|<=1 (ou seja sin^2x<=cos^2x), o intervalo torna-se
sin^2x;<=;sin(2x);<=;cos^2x
Usando
sin^2x=tan^2x1+tan^2x, cos^2x=11+tan^2x, sin(2x)=2tan x1+tan^2x,
a desigualdade sin(2x)<=cos^2x vira
2tan x1+tan^2x<=11+tan^2x Longrightarrow 2tan x<=1 Longrightarrow tan x<=12
E a outra sin(2x)>=sin^2x
2tan x1+tan^2x>=tan^2x1+tan^2x Longrightarrow 2tan x>=tan^2x Longrightarrow 0<=tan x<=2,
mas nessa região já temos tan x<=1, então sobra
0<=tan x<=12

Passo 4

Caso |tan x|>=1 (ou seja cos^2x<=sin^2x), o intervalo é
cos^2x;<=;sin(2x);<=;sin^2x
Repetindo a troca por tan x, a desigualdade sin(2x)>=cos^2x
2tan x>=1 Longrightarrow tan x>=12,
e sin(2x)<=sin^2x
2tan x<=tan^2x Longrightarrow tan x>=2
No conjunto tan x>=1 a intersecção das duas é simplesmente
tan x>=2

Resposta

Juntando tudo e lembrando da condição sin(2x)>=0, concluímos que
sin(2x) in [sin^2 x, cos^2 x] Long<=ftrightarrow x in l[kpi,; kpi + tfracpi2 r], [6pt] e ou ; 0 <= tan x <= tfrac12 ou tan x >= 2, k in Z ]

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