Sejam f(x)=sin ^2 x e g(x)=cos ^2 x. Determine se h(x) pertence a [f(x), g(x)] em cada um dos casos abaixo:
h(x)=sin x

Passo 1

O enunciado define
f(x)=sin^2x, g(x)=cos^2x,
e pede para ver se
h(x)=sin x
fica entre f(x) e g(x), isto é, se
minf(x),,g(x);<=;sin x;<=;maxf(x),,g(x)
para cada x. Vamos usar desigualdades e separar os casos em que sin^2x<=cos^2x ou o contrário.

Passo 2

Primeiro determinamos qual das funções é menor ou maior:
sin^2x<=cos^2x exatamente quando
sin^2x<=12 Long<=ftrightarrow |sin x|<=1raiz2
Nesse caso
minf,g=sin^2x, maxf,g=cos^2x
Se sin^2x>cos^2x (ou seja |sin x|>1/raiz2), então
minf,g=cos^2x, maxf,g=sin^2x

Passo 3

Caso 1: |sin x|<=1raiz2.
Queremos
sin^2x;<=;sin x;<=;cos^2x
A primeira desigualdade sin^2x<=sin x equivale a
sin x,(sin x -1)<=0 Long<=ftrightarrow 0<=sin x<=1
Combinando com |sin x|<=1/raiz2 sobra
0<=sin x<=1raiz2
A segunda desigualdade sin x<=cos^2x=1-sin^2x
sin x +sin^2x-1<=0 Long<=ftrightarrow sin x<=raiz5-12
Juntando as duas, no caso |sin x|<=1/raiz2 temos
0<=sin x<=raiz5-12

Passo 4

Caso 2: |sin x|>1raiz2.
Agora queremos
cos^2x;<=;sin x;<=;sin^2x
A primeira parte cos^2x<=sin x equivale a
1-sin^2x<=sin x Long<=ftrightarrow sin^2x+sin x-1>=0 Long<=ftrightarrow sin x>=raiz5-12(ou sin x<=-tfracraiz5+12,impossível) í
A segunda sin x<=sin^2x
sin x,(,1-sin x)<=0 Long<=ftrightarrow sin x<=0ousin x>=1
Como aqui |sin x|>1/raiz2, a única forma de satisfazer ambas é sin x=1.

Passo 5

Somando os dois casos, concluímos que
h(x)=sin xin[f(x),g(x)]
se, e somente se,
sin xinl[,0,;raiz5-12r] ou sin x=1
Em termos de x isso significa que, módulo 2pi, temos duas faixas onde sin x varia de 0 até (raiz5-1)/2 e o ponto sin x=1 em x=tfracpi2+2pi k.

Resposta

h(x)in[f(x),g(x)] exatamente quando
sin xinl[0,;tfracraiz5-12r] cup ;1,
isto é,
boxedx=2pi k + t, tinl[0,arcsin!tfracraiz5-12r];cup;tfracpi2, kin Z

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