Sejam
e
. Determine se
pertence a
em cada um dos casos abaixo:
Passo 1
O enunciado define
e pede para ver se
fica entre
e
, isto é, se
para cada
. Vamos usar desigualdades e separar os casos em que
ou o contrário.
Passo 2
Primeiro determinamos qual das funções é menor ou maior:
exatamente quando
Nesse caso
Se
(ou seja
), então
Passo 3
Caso 1:
.
Queremos
Queremos
A primeira desigualdade
equivale a
Combinando com
sobra
A segunda desigualdade
dá
Juntando as duas, no caso
temos
Passo 4
Caso 2:
.
Agora queremos
Agora queremos
A primeira parte
equivale a
A segunda
dá
Como aqui
, a única forma de satisfazer ambas é
.
Passo 5
Somando os dois casos, concluímos que
se, e somente se,
Em termos de
isso significa que, módulo
, temos duas faixas onde
varia de
até
e o ponto
em
.
Resposta
isto é,