Teste se os conjuntos de matrizes abaixo são linearmente independentes em M22. Para os que forem linearmente dependentes, expresse uma das matrizes como combinação linear das demais.
[ll-1 & 1 -2 & 2],[ll3 & 0 1 & 1],[cc0 & 2 -3 & 1],[ll-1 & 0 -1 & 7]

Passo 1

O enunciado pede para testar se o conjunto
A1=-1&1-2&2,; A2=3&01&1,; A3=0&2-3&1,; A4=-1&0-1&7
é linearmente independente em M2times2. Como dim M2times2=4 e temos 4 matrizes, basta ver se existe uma combinação não-trivial
aA1 + bA2 + cA3 + dA4 = 0

Passo 2

Escrevendo a combinação zero entrada a entrada, obtemos o sistema
-a + 3b ;+;0cdot c ;-;d ;=;0,
-,a ;+;0cdot b ;+;2c ;+;0cdot d ;=;0,
-2a ;+;b ;-;3c ;-;d ;=;0,
-,2a ;+;b ;+;c ;+;7d ;=;0

Passo 3

Da segunda equação vem
a + 2c = 0Longrightarrow a=-2c
Substituindo em todas, chegamos às relações
b = d - c, b = tfracd-2c3, b = 3c -7d,
que forçam c=2d e então
a=-2c=-4d, b=-d, c=2d
Como há solução não-trivial ( dneq0), o conjunto é linearmente dependente.

Passo 4

Escolhendo d=1 obtemos a relação
-4,A1 ;-;1,A2 ;+;2,A3 ;+;1,A4 ;=;0,
ou seja
A4 ;=;4,A1 ;+;A2 ;-;2,A3

Resposta

O conjunto é linearmente dependente e
-1&0-1&7 = 4 -1&1-2&2 + 3&01&1 - 2 0&2-3&1

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