Sejam u=(2,4) e v=(-3,5). Determine:
a) o produto escalar de u por v;
b) o ângulo entre u e v;
c) P^u

Passo 1

O enunciado dá os vetores u=(2,4) e v=(-3,5) em R^2. Vamos usar a definição de produto escalar, norma de vetor, a fórmula do ângulo entre vetores via produto escalar, e a fórmula da projeção ortogonal de um vetor sobre outro, que resulta na matriz de projeção P^u.

Passo 2

Para calcular o produto escalar usamos
ucdot v = 2 times (-3) + 4 times 5 = -6 + 20 = 14

Passo 3

Para achar o ângulo precisamos das normas
|u| = raiz2^2 + 4^2 = raiz20, |v| = raiz(-3)^2 + 5^2 = raiz34
A seguir,
costheta = ucdot v|u||v| = 14raiz20,raiz34,
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theta = arccosl(tfrac14raiz20,raiz34r)

Passo 4

A matriz de projeção ortogonal sobre u é dada por
P^u = 1ucdot u,u,u^T = 120 24 2 & 4 = 120 4 & 8 8 & 16

Resposta

a) ucdot v = 14.
b) theta = arccosl(tfrac14raiz20,raiz34r) (aproximadamente 57,56^circ).
c)
P^u = 120 4 & 8 8 & 16

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