Verifique se o operador T(x, y)=(4 x+3 y,-3 x+4 y) é diagonalizável.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A pergunta é para verificar se o operador linear T(x, y) = (4x + 3y, -3x + 4y) é diagonalizável. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente sobre diagonalização de matrizes. Precisaremos encontrar os autovalores e autovetores do operador para determinar se ele pode ser diagonalizado.

Passo 2

Primeiro, vamos representar o operador T como uma matriz. O operador T(x, y) = (4x + 3y, -3x + 4y) pode ser escrito na forma matricial:
A = 4 & 3 -3 & 4

Passo 3

Para verificar se a matriz A é diagonalizável, precisamos encontrar seus autovalores. Os autovalores são encontrados resolvendo a equação característica:
det(A - lambda I) = 0
Onde I é a matriz identidade e lambda representa os autovalores.
Vamos calcular:
A - lambda I = 4 - lambda & 3 -3 & 4 - lambda
O determinante dessa matriz é:
det(A - lambda I) = (4 - lambda)(4 - lambda) - (-3)(3) = (4 - lambda)^2 + 9
Portanto, a equação característica fica:
(4 - lambda)^2 + 9 = 0

Passo 4

Agora, vamos resolver a equação característica para encontrar os autovalores:
(4 - lambda)^2 + 9 = 0 (4 - lambda)^2 = -9 4 - lambda = pm 3i lambda = 4 pm 3i
Encontramos dois autovalores complexos: lambda1 = 4 + 3i e lambda2 = 4 - 3i .

Passo 5

Uma matriz é diagonalizável se ela possui um conjunto completo de autovetores, ou seja, se o número de autovetores é igual ao tamanho da matriz. No entanto, para que isso seja possível no conjunto dos números reais, os autovalores também precisam ser números reais.
Como os autovalores lambda1 = 4 + 3i e lambda2 = 4 - 3i são complexos, a matriz A não possui autovetores reais suficientes para ser diagonalizável no conjunto dos números reais.

Resposta

Não, o operador T não é diagonalizável no conjunto dos números reais porque seus autovalores são complexos.

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