Sejam a=(1,1,2) e b=(2,-1,1). Determine um vetor u tal que a, b, u sejam L D, u cdot a=12 e a área do paralelogramo determinado por u e b seja 9 raiz3.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá dois vetores, a = (1, 1, 2) e b = (2, -1, 1). A gente precisa encontrar um terceiro vetor, u, que satisfaça três condições:
  1. Os vetores a, b, u são linearmente dependentes (ou seja, um deles pode ser escrito como combinação dos outros).
  2. O produto escalar entre u e a é igual a 12.
  3. A área do paralelogramo formado por u e b é 9raiz3.
Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa cada uma dessas condições e como aplicá-las passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa que os vetores a, b, u são linearmente dependentes. Isso quer dizer que existe uma combinação linear dos vetores a e b que resulta em u. Em termos matemáticos:
u = lambda a + mu b
onde lambda e mu são escalares (números reais que vamos determinar).

Passo 3

Agora, vamos usar a segunda condição: o produto escalar entre u e a é 12. O produto escalar entre dois vetores u = (u1, u2, u3) e a = (a1, a2, a3) é dado por:
u cdot a = u1 a1 + u2 a2 + u3 a3
Substituindo u = lambda a + mu b na expressão do produto escalar, temos:
(lambda a + mu b) cdot a = 12
Vamos calcular isso passo a passo.

Passo 4

Primeiro, expressamos u em termos de lambda e mu:
u = lambda (1, 1, 2) + mu (2, -1, 1) = (lambda cdot 1 + mu cdot 2, lambda cdot 1 + mu cdot (-1), lambda cdot 2 + mu cdot 1)
Simplificando:
u = (lambda + 2mu, lambda - mu, 2lambda + mu)

Passo 5

Agora, vamos calcular o produto escalar u cdot a:
u cdot a = (lambda + 2mu) cdot 1 + (lambda - mu) cdot 1 + (2lambda + mu) cdot 2 = 12
Simplificando cada termo:
lambda + 2mu + lambda - mu + 4lambda + 2mu = 12

Passo 6

Vamos somar os termos semelhantes:
( lambda + lambda + 4lambda ) + (2mu - mu + 2mu ) = 12 6lambda + 3mu = 12
Dividindo ambos os lados por 3:
2lambda + mu = 4 (Equação 1) çã

Passo 7

Agora, vamos usar a terceira condição: a área do paralelogramo formado por u e b é 9raiz3. A área do paralelogramo é dada pelo módulo do produto vetorial entre u e b:
Área = |u times b| = 9raiz3 Á
Vamos calcular u times b.

Passo 8

Primeiro, vamos escrever u e b:
u = (lambda + 2mu, lambda - mu, 2lambda + mu) b = (2, -1, 1)
O produto vetorial u times b é dado por:
u times b = i & j & k lambda + 2mu & lambda - mu & 2lambda + mu 2 & -1 & 1
Calculando o determinante:
u times b = i ( (lambda - mu)(1) - (2lambda + mu)(-1) ) - j ( (lambda + 2mu)(1) - (2lambda + mu)(2) ) + k ( (lambda + 2mu)(-1) - (lambda - mu)(2) )
Simplificando cada componente:
Para i:
(lambda - mu) + 2lambda + mu = 3lambda
Para j:
(lambda + 2mu) - 4lambda - 2mu = -3lambda
Para k:
-(lambda + 2mu) - 2lambda + 2mu = -3lambda
Então:
u times b = (3lambda) i - (-3lambda) j + (-3lambda) k = (3lambda, 3lambda, -3lambda)

Passo 9

Agora, vamos calcular o módulo desse produto vetorial:
|u times b| = raiz(3lambda)^2 + (3lambda)^2 + (-3lambda)^2 = raiz9lambda^2 + 9lambda^2 + 9lambda^2 = raiz27lambda^2 = 3raiz3|lambda|
Segundo a condição, isso deve ser igual a 9raiz3:
3raiz3|lambda| = 9raiz3
Dividindo ambos os lados por 3raiz3:
|lambda| = 3
Então, lambda = 3 ou lambda = -3.

Passo 10

Vamos considerar lambda = 3 primeiro. Usando a Equação 1:
2lambda + mu = 4 2 cdot 3 + mu = 4 6 + mu = 4 mu = -2
Agora, substituímos lambda = 3 e mu = -2 na expressão de u:
u = (3 + 2(-2), 3 - (-2), 2 cdot 3 + (-2)) = (3 - 4, 3 + 2, 6 - 2) = (-1, 5, 4)
Vamos verificar se essa solução satisfaz todas as condições.

Passo 11

Primeiro, verificamos o produto escalar:
u cdot a = (-1)(1) + (5)(1) + (4)(2) = -1 + 5 + 8 = 12
Está correto!
Agora, a área do paralelogramo:
|u times b| = | (3 cdot 3, 3 cdot 3, -3 cdot 3) | = |(9, 9, -9)| = raiz81 + 81 + 81 = raiz243 = 9raiz3
Também está correto!

Resposta

O vetor u que satisfaz todas as condições é u = (-1,,5,,4).

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