Sejam e . Determine um vetor tal que sejam , e a área do paralelogramo determinado por u e seja .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá dois vetores, e . A gente precisa encontrar um terceiro vetor, , que satisfaça três condições:
Os vetores são linearmente dependentes (ou seja, um deles pode ser escrito como combinação dos outros).
O produto escalar entre e é igual a 12.
A área do paralelogramo formado por e é .
Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa cada uma dessas condições e como aplicá-las passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa que os vetores são linearmente dependentes. Isso quer dizer que existe uma combinação linear dos vetores e que resulta em . Em termos matemáticos:
onde e são escalares (números reais que vamos determinar).
Passo 3
Agora, vamos usar a segunda condição: o produto escalar entre e é 12. O produto escalar entre dois vetores e é dado por:
Substituindo na expressão do produto escalar, temos:
Vamos calcular isso passo a passo.
Passo 4
Primeiro, expressamos em termos de e :
Simplificando:
Passo 5
Agora, vamos calcular o produto escalar :
Simplificando cada termo:
Passo 6
Vamos somar os termos semelhantes:
Dividindo ambos os lados por 3:
Passo 7
Agora, vamos usar a terceira condição: a área do paralelogramo formado por e é . A área do paralelogramo é dada pelo módulo do produto vetorial entre e :
Vamos calcular .
Passo 8
Primeiro, vamos escrever e :
O produto vetorial é dado por:
Calculando o determinante:
u times b = i ( (lambda - mu)(1) - (2lambda + mu)(-1) ) - j ( (lambda + 2mu)(1) - (2lambda + mu)(2) ) + k ( (lambda + 2mu)(-1) - (lambda - mu)(2) )
Simplificando cada componente:
Para i:
(lambda - mu) + 2lambda + mu = 3lambda
Para j:
(lambda + 2mu) - 4lambda - 2mu = -3lambda
Para k:
-(lambda + 2mu) - 2lambda + 2mu = -3lambda
Então:
u times b = (3lambda) i - (-3lambda) j + (-3lambda) k = (3lambda, 3lambda, -3lambda)
Passo 9
Agora, vamos calcular o módulo desse produto vetorial: