Suponha que o sistema a seguir seja consistente para todos os valores de f e g .O que você pode dizer sobre os coeficientes c e d ?Justifique sua res- posta.
x1+3 x2 & =f c x1+d x2 & =g

Passo 1

O enunciado dá o sistema linear em duas incógnitas
x1+3x2=f, c,x1+d,x2=g,
e afirma que ele é consistente (compatível) para todo par de valores (f,g). O conteúdo aqui é teoria de sistemas lineares: para que um sistema seja sempre consistente, a matriz de coeficientes deve ser invertível (posto máximo).

Passo 2

Escrevemos a matriz de coeficientes
A = 1 & 3 c & d
Para que o sistema tenha solução para todo (f,g), precisamos que A seja invertível.

Passo 3

Num sistema A,x=b com AinR^2times2, invertibilidade de A é equivalente a det(A)neq0. Isso garante posto 2 e, portanto, existência (e unicidade) de solução para qualquer b=(f,g).

Passo 4

Calculamos o determinante de A:
det(A)=1cdot d - 3cdot c = d - 3c
A condição det(A)neq0 vira
d - 3c neq 0

Resposta

Para que o sistema seja consistente para todos os f e g é necessário e suficiente que
d neq 3c

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