Sejam v1=(a, 3,-a), v2=(a+1,-1, a) e v3=(1,0,2), encontre o valor de a para que:
a) v1 e v2 sejam ortogonais;
b) v1, v2 e v3 sejam coplanares.

Passo 1

Beleza, vamos analisar o que a questão está pedindo. Temos três vetores: v1=(a, 3, -a), v2=(a+1, -1, a) e v3=(1, 0, 2). A primeira parte pergunta para encontrar o valor de a onde v1 e v2 são ortogonais. A segunda parte quer que a gente encontre a de modo que os três vetores sejam coplanares. Para resolver isso, vamos usar conceitos de produto interno e determinante.

Passo 2

Vamos começar com a parte a: v1 e v2 serem ortogonais. Dois vetores são ortogonais quando o produto interno deles é zero. O produto interno (ou escalar) é calculado multiplicando componente a componente e somando os resultados.

Passo 3

Calcular o produto interno de v1 e v2:
v1 cdot v2 = a(a+1) + 3(-1) + (-a)(a) = a^2 + a - 3 - a^2 = a - 3
Para que sejam ortogonais, esse resultado deve ser igual a zero:
a - 3 = 0 implies a = 3

Passo 4

Agora vamos para a parte b: queremos que os três vetores sejam coplanares. Três vetores são coplanares se o determinante formado por eles for zero. O determinante é calculado organizando os vetores em uma matriz e calculando seu valor.

Passo 5

Montar a matriz com os vetores e calcular o determinante:
a & 3 & -a a+1 & -1 & a 1 & 0 & 2 = a cdot (-1 cdot 2 - a cdot 0) - 3 cdot ((a+1) cdot 2 - a cdot 1) + (-a) cdot ((a+1) cdot 0 - (-1) cdot 1)
Simplificando:
= a(-2) - 3(2a + 2 - a) + (-a)(0 + 1) = -2a - 3(a + 2) - a = -2a - 3a - 6 - a = -6a - 6
Para que os vetores sejam coplanares, o determinante deve ser zero:
-6a - 6 = 0 implies -6a = 6 implies a = -1

Resposta

a) a = 3
b) a = -1

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