Sejam e v3=(1,0,2), encontre o valor de a para que:
a) v1 e v2 sejam ortogonais;
b) v1, v2 e v3 sejam coplanares.
Passo 1
Beleza, vamos analisar o que a questão está pedindo. Temos três vetores: v1=(a, 3, -a), v2=(a+1, -1, a) e v3=(1, 0, 2). A primeira parte pergunta para encontrar o valor de a onde v1 e v2 são ortogonais. A segunda parte quer que a gente encontre a de modo que os três vetores sejam coplanares. Para resolver isso, vamos usar conceitos de produto interno e determinante.
Passo 2
Vamos começar com a parte a: v1 e v2 serem ortogonais. Dois vetores são ortogonais quando o produto interno deles é zero. O produto interno (ou escalar) é calculado multiplicando componente a componente e somando os resultados.
Para que sejam ortogonais, esse resultado deve ser igual a zero:
a - 3 = 0 implies a = 3
Passo 4
Agora vamos para a parte b: queremos que os três vetores sejam coplanares. Três vetores são coplanares se o determinante formado por eles for zero. O determinante é calculado organizando os vetores em uma matriz e calculando seu valor.
Passo 5
Montar a matriz com os vetores e calcular o determinante:
a & 3 & -a a+1 & -1 & a 1 & 0 & 2 = a cdot (-1 cdot 2 - a cdot 0) - 3 cdot ((a+1) cdot 2 - a cdot 1) + (-a) cdot ((a+1) cdot 0 - (-1) cdot 1)