Sejam as equações z+i 2=k+i z(k in R) e wz=2+i 2(Im(w)=8). Determine k.

Passo 1

O enunciado dá duas equações em números complexos:
;z + 2i = k + i,z, com kinR,
e
wz = 2 + 2i com Im(w)=8.
O objetivo é encontrar k. Vamos escrever z em parte real e imaginária e usar ambas as equações para achar x,y (se z=x+iy) e então k.

Passo 2

Seja z = x + i y. Da segunda equação,
w = z,(2 + 2i) = (x + i y)(2 + 2i)
Multiplicando:
w = 2x + 2iy + 2ix + 2i^2y = (2x - 2y) + i(2y + 2x)
Como Im(w)=2(x+y)=8, concluímos
x + y = 4

Passo 3

Na primeira equação,
z + 2i = (x + i y) + 2i = x + i(y+2),
e
i,z = i(x + i y) = -y + i x
Logo
k + i,z = k + (-y + i x) = (k - y) + i x
Impondo z + 2i = k + i,z obtemos
x + i(y+2) = (k - y) + i x
Comparando partes real e imaginária:
  1. real: x = k - y,
  2. imag.: y + 2 = x.

Passo 4

Do item 2 da parte imaginária temos
y + 2 = x Longrightarrow y = x - 2
Juntando com x + y = 4:
x + (x - 2) = 4 ;Longrightarrow;2x = 6 ;Longrightarrow;x = 3,
y = 3 - 2 = 1
Então da parte real x = k - y segue
3 = k - 1 Longrightarrow k = 4

Resposta

k = 4.

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