Sejam i e j os vectores coordenados unitários de V2. Em cada alínea determinar os escalares x e y tais que x(i-j)+y(i+j) é igual a i;

Passo 1

O enunciado diz que i e j são os vetores da base canónica de V2 e pede para encontrar escalares x e y tais que
x(i-j) ;+; y(i+j) ;=;i
O conteúdo aqui é combinações lineares em coordenadas: vamos escrever a combinação, identificar as coordenadas resultantes e resolver o sistema.

Passo 2

Expandimos a combinação linear usando distributividade:
x(i-j) + y(i+j) = x,i - x,j + y,i + y,j
Agrupando os termos em i e j, obtemos
(x+y),i ;+; (-x+y),j

Passo 3

Igualamos essa combinação a i, que tem coordenadas (1,0) na base (i,j). Logo, o sistema de equações para as coordenadas é
x + y = 1, -x + y = 0

Passo 4

Resolvendo o sistema, da segunda equação vem
-y + x = 0 Longrightarrow y = x
Substituindo em x + y = 1
x + x = 1 Longrightarrow 2x = 1 Longrightarrow x = tfrac12,
e portanto y = tfrac12.

Resposta

x = tfrac12, y = tfrac12

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