Sejam a e b dois vetores de R^2.
Sabendo que (72,-48)=12 a-12 b, e que (-33,41)=-12 a-5 b, escreva (105,-89) como combinação linear de a e b.

Passo 1

O enunciado dá duas combinações lineares de vec a e vec b:
12vec a - 12vec b = (72,-48),
-12vec a - 5vec b = (-33,41),
e pede para achar escalares p,q tais que
pvec a + qvec b = (105,-89)
Para isso, primeiro vamos determinar as componentes de vec a e vec b resolvendo os dois sistemas escalares em x e em y.

Passo 2

Extraímos as equações para as componentes x:
12ax - 12bx = 72 Longrightarrow ax - bx = 6,
-12ax - 5bx = -33
Da primeira vem ax = 6 + bx. Substituindo na segunda:
-12(6 + bx) - 5bx = -33 Longrightarrow -72 -17bx = -33 Longrightarrow bx = -3917,
ax = 6 + l(-3917r) = 6317

Passo 3

Agora as componentes y:
12ay - 12by = -48 Longrightarrow ay - by = -4,
-12ay - 5by = 41
De ay = -4 + by e substituindo:
-12(-4 + by) - 5by = 41 Longrightarrow 48 -17by = 41 Longrightarrow by = 717,
ay = -4 + 717 = -6117

Passo 4

Agora escrevemos
pvec a + qvec b = (105,-89),
em componentes:
p,ax + q,bx = 105, p,ay + q,by = -89
Substituindo ax=tfrac6317, bx=-tfrac3917, ay=-tfrac6117, by=tfrac717 e multiplicando cada equação por 17, obtemos
63p - 39q = 1785,
-61p + 7q = -1513
Resolvendo por eliminação (por exemplo, multiplicando a primeira por 7 e a segunda por 39 e somando), chega-se a
p = 24, q = -7

Resposta

(105,-89) = 24,vec a ;-;7,vec b

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