Sejam a e b dois vetores de R^2.
Sabendo que (27,34)=7 a-3 b, e que (89,82)=-3 a+21 b, escreva (116,116) como combinação linear de a e b.

Passo 1

O enunciado dá duas combinações lineares de vec a e vec b em R^2:
(27,34)=7vec a-3vec b,
(89,82)=-3vec a+21vec b,
e pergunta como escrever (116,116) como combinação linear de vec a e vec b.
O conteúdo aqui é análise de combinação linear em R^2: como usar vetores já expressos em vec a,vec b para obter outro vetor qualquer.

Passo 2

Chame
vec u = (27,34)=7vec a-3vec b, vec v = (89,82)=-3vec a+21vec b
Queremos (116,116)=alpha,vec u+beta,vec v. Feito isso, basta reescrever em vec a,vec b.

Passo 3

Para achar alpha e beta resolvemos
alpha,(27,34)+beta,(89,82)=(116,116),
isto é o sistema em coordenadas:
27alpha +89beta =116, 34alpha +82beta =116

Passo 4

Subtraindo adequadamente dá
(27alpha+89beta)-(34alpha+82beta)=116-116 ;Longrightarrow;-7alpha+7beta=0 ;Longrightarrow;beta=alpha
Substituindo em 27alpha+89alpha=116 resulta 116alpha=116, logo
alpha=1, beta=1

Passo 5

Portanto
(116,116)=1cdotvec u+1cdotvec v =l(7vec a-3vec br)+l(-3vec a+21vec br) =4vec a+18vec b

Resposta

(116,116)=4,vec a+18,vec b

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