Sejam
e
duas soluções da equação:
, tal que seu wronskiano
. Com relação as sentenças:
também é uma solução da equação; III)
. Qual das alternativas abaixo é verdadeira? Somente II e III.
Passo 1
O enunciado trata da equação linear homogênea de
ª ordem
com duas soluções independentes
e
cujo wronskiano é
Precisamos checar a veracidade das sentenças:
I) ,
II) também é solução,
III) .
I)
II)
III)
Passo 2
Propriedade do wronskiano: se
e
com constantes
, então
Aplicamos isso para testar a sentença I.
Passo 3
Em I temos
e
, logo
e
. Assim
Portanto a sentença I é verdadeira.
Passo 4
Como a equação é linear e homogênea, qualquer combinação linear de soluções é solução. Logo,
é de fato solução, e a sentença II é verdadeira.
Passo 5
Para III definimos
e
. O wronskiano é
Portanto a sentença III também é verdadeira.
Resposta
I, II e III são verdadeiras.