Sejam y1(t) e y2(t) duas soluções da equação: y^prime prime p(t) y^prime+q(t) y=0, tal que seu wronskiano W(y1, y2)(t)=e^-2 t. Com relação as sentenças: I) W(3 y1, 4 y2)(t)=12 e^-2 t ; I I) y3(t)=3 y1(t)-4 y2(t) também é uma solução da equação; III) W(y1-y2, y1+y2)(t)=2 e^-2 t. Qual das alternativas abaixo é verdadeira? Somente II e III.

Passo 1

O enunciado trata da equação linear homogênea de 2ª ordem
y'' + p(t),y' + q(t),y = 0
com duas soluções independentes y1(t) e y2(t) cujo wronskiano é
Wl(y1,y2r)(t)=e^-2t
Precisamos checar a veracidade das sentenças:
I) W(3y1,4y2)(t)=12,e^-2t,
II) y3(t)=3y1(t)-4y2(t) também é solução,
III) W(y1-y2,,y1+y2)(t)=2,e^-2t.

Passo 2

Propriedade do wronskiano: se u(t)=a,y1(t) e v(t)=b,y2(t) com constantes a,b, então
W(u,v)(t)=a,b,W(y1,y2)(t)
Aplicamos isso para testar a sentença I.

Passo 3

Em I temos u=3y1 e v=4y2, logo a=3 e b=4. Assim
W(3y1,4y2)(t)=3cdot4,W(y1,y2)(t)=12,e^-2t
Portanto a sentença I é verdadeira.

Passo 4

Como a equação é linear e homogênea, qualquer combinação linear de soluções é solução. Logo,
y3(t)=3,y1(t)-4,y2(t)
é de fato solução, e a sentença II é verdadeira.

Passo 5

Para III definimos u=y1-y2 e v=y1+y2. O wronskiano é
W(u,v)= y1-y2 & y1+y2 y1'-y2' & y1'+y2' =2l(y1y2'-y2y1'r) =2,W(y1,y2) =2,e^-2t
Portanto a sentença III também é verdadeira.

Resposta

I, II e III são verdadeiras.

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