Verifique se cada funçào dada é uma solução da equação diferencial.
y^prime prime+2 y^prime-3 y=0 ; y1(t)=e^3 t, y2(t)=e^-3 t, y3(t)=e^t.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se cada função
y1(t)=e^3t,;y2(t)=e^-3t,;y3(t)=e^t
satisfaz a equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes
y''+2y'-3y=0
Para fazer isso, vamos usar duas abordagens complementares: a) o método do polinômio característico e b) a substituição direta.

Passo 2

Formamos o polinômio característico associado à equação diferencial, trocando ymapsto e^lambda t:
lambda^2+2lambda-3=0
Resolvendo, temos
lambda = -2pmraiz2^2-4cdot1cdot(-3)2 =-2pmraiz4+122 =-2pm42,
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lambda1 = 1, lambda2 = -3
Isso nos diz que e^t e e^-3t são soluções gerais; qualquer e^lambda t com lambda diferente de 1 ou -3 não satisfaz a equação.

Passo 3

Verificação direta para y1(t)=e^3t:
y1'=3e^3t, y1''=9e^3t
Substituindo em y''+2y'-3y:
9e^3t+2cdot3e^3t-3e^3t =(9+6-3)e^3t =12e^3tneq0
Portanto, y1 não é solução.

Passo 4

Verificação direta para y2(t)=e^-3t:
y2'=-3e^-3t, y2''=9e^-3t
Substituindo:
9e^-3t+2(-3e^-3t)-3e^-3t =(9-6-3)e^-3t =0
Logo, y2 é solução.

Passo 5

Verificação direta para y3(t)=e^t:
y3'=e^t, y3''=e^t
Substituindo:
e^t+2e^t-3e^t =(1+2-3)e^t =0
Logo, y3 é solução.

Resposta

y1(t)=e^3t: não é solução.
y2(t)=e^-3t: é solução.
y3(t)=e^t: é solução.

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