Sejam
e
duas variáveis aleatórias com
. Definimos a covariância entre
e
por
. Mostre que
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar a propriedade de linearidade da covariância em relação à primeira variável: provar que (\operatorname{Cov}(X+Y,Z)=\operatorname{Cov}(X,Z)+\operatorname{Cov}(Y,Z). Vamos usar a definição de covariância e a linearidade da esperança.
Passo 2
Pela definição de covariância temos
Além disso, pela linearidade da esperança
Passo 3
Repare que
Substituindo na expressão da covariância,
Passo 4
Usando a distributividade dentro da esperança e a linearidade de
, obtemos
o que, pelas definições de covariância, dá