Sejam X e Y duas variáveis aleatórias com X. Definimos a covariância entre Y e Cov(X, Y)=E[(X-E[X])(Y-E[Y])] por Cov(X+Y, Z)=Cov(X, Z)+Cov(Y, Z). Mostre que
.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar a propriedade de linearidade da covariância em relação à primeira variável: provar que (\operatorname{Cov}(X+Y,Z)=\operatorname{Cov}(X,Z)+\operatorname{Cov}(Y,Z). Vamos usar a definição de covariância e a linearidade da esperança.

Passo 2

Pela definição de covariância temos
Cov(X+Y,Z)=El[l((X+Y)-E[X+Y]r),(Z-E[Z])r]
Além disso, pela linearidade da esperança
E[X+Y]=E[X]+E[Y]

Passo 3

Repare que
(X+Y)-E[X+Y]=(X-E[X])+(Y-E[Y])
Substituindo na expressão da covariância,
Cov(X+Y,Z)=El[l((X-E[X])+(Y-E[Y])r),(Z-E[Z])r]

Passo 4

Usando a distributividade dentro da esperança e a linearidade de E[cdot], obtemos
Cov(X+Y,Z)=E[(X-E[X])(Z-E[Z])]+E[(Y-E[Y])(Z-E[Z])],
o que, pelas definições de covariância, dá
Cov(X+Y,Z)=Cov(X,Z)+Cov(Y,Z)

Resposta

Cov(X+Y,Z)=Cov(X,Z)+Cov(Y,Z).

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