Sejam X e Y duas variáveis aleatórias com X. Definimos a covariância entre Y e Cov(X, Y)=E[(X-E[X])(Y-E[Y])] por Cov(a X, b Y)=a b Cov(X, Y). Mostre que
.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que ao multiplicar X por a constante a e Y por b, a covariância escala por ab. O conteúdo envolve a definição de covariância e a propriedade de linearidade da esperança.

Passo 2

Pela definição temos
Cov(aX,bY)=El[(aX-E[aX])(bY-E[bY])r]
Mas pela linearidade da esperança vale
E[aX]=a,E[X], E[bY]=b,E[Y]

Passo 3

Substituindo essas igualdades em Cov(aX,bY) fica
Cov(aX,bY)=El[(aX-aE[X])(bY-bE[Y])r] =El[a b,(X-E[X])(Y-E[Y])r]

Passo 4

Como ab é constante, podemos trazê-lo para fora da esperança:
Cov(aX,bY)=ab,El[(X-E[X])(Y-E[Y])r] =ab,Cov(X,Y)

Resposta

\operatorname{Cov}(aX,bY)=ab,\operatorname{Cov}(X,Y)

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