Sejam
e
duas variáveis aleatórias com
. Definimos a covariância entre
e
por
. Mostre que
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que ao multiplicar X por a constante a e Y por b, a covariância escala por ab. O conteúdo envolve a definição de covariância e a propriedade de linearidade da esperança.
Passo 2
Pela definição temos
Mas pela linearidade da esperança vale
Passo 3
Substituindo essas igualdades em Cov(aX,bY) fica
Passo 4
Como ab é constante, podemos trazê-lo para fora da esperança:
Resposta
\operatorname{Cov}(aX,bY)=ab,\operatorname{Cov}(X,Y)