Sejam A=(cc1 & 1 2 & -3) e P=(ll1 & -2 3 & -5).
Encontre B=P^-1 A P.

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para encontrar a matriz B = P^-1 A P , onde
A = 1 & 1 2 & -3 e P = 1 & -2 3 & -5
O conteúdo envolvido aqui é a transformação de similaridade de matrizes, que é usada para mudar a base de representação de uma matriz mantendo suas propriedades essenciais, como os autovalores. Para resolver, precisamos calcular a inversa de P e depois multiplicar P^-1 por A e por P .

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a inversa da matriz P , ou seja, P^-1 .
A fórmula para a inversa de uma matriz 2 times 2 é:
P^-1 = 1det(P) d & -b -c & a ,
onde P = a & b c & d .
Vamos aplicar isso para a nossa matriz P :
P = 1 & -2 3 & -5,
calculando o determinante:
det(P) = (1)(-5) - (-2)(3) = -5 + 6 = 1
Então, a inversa fica:
P^-1 = 11 -5 & 2 -3 & 1 = -5 & 2 -3 & 1

Passo 3

Agora, vamos multiplicar P^-1 pela matriz A :
P^-1 A = -5 & 2 -3 & 1 1 & 1 2 & -3
Vamos calcular cada elemento dessa multiplicação:
  • Elemento (1,1): (-5)(1) + (2)(2) = -5 + 4 = -1
  • Elemento (1,2): (-5)(1) + (2)(-3) = -5 -6 = -11
  • Elemento (2,1): (-3)(1) + (1)(2) = -3 + 2 = -1
  • Elemento (2,2): (-3)(1) + (1)(-3) = -3 -3 = -6
Assim, temos:
P^-1 A = -1 & -11 -1 & -6

Passo 4

Agora, multiplicamos o resultado anterior por P :
B = (P^-1 A) P = -1 & -11 -1 & -6 1 & -2 3 & -5
Vamos calcular cada elemento dessa multiplicação:
  • Elemento (1,1): (-1)(1) + (-11)(3) = -1 -33 = -34
  • Elemento (1,2): (-1)(-2) + (-11)(-5) = 2 + 55 = 57
  • Elemento (2,1): (-1)(1) + (-6)(3) = -1 -18 = -19
  • Elemento (2,2): (-1)(-2) + (-6)(-5) = 2 + 30 = 32
Portanto,
B = -34 & 57 -19 & 32

Resposta

A matriz B é
B = -34 & 57 -19 & 32

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