Sejam u=3 i-4 j+2 k, v=2 i+5 j-3 k e w=4 i+7 j+2 k. Encontre
(a) u times v,
(b) u times w,
(c) v times w.

Passo 1

O enunciado dá os vetores
u = 3i-4j+2k, v = 2i+5j-3k, w = 4i+7j+2k
e pede os produtos vetoriais utimes v, utimes w e vtimes w. Para isso vamos usar a definição de produto vetorial em R^3 via determinante de uma matriz 3times3 com as coordenadas.

Passo 2

Para calcular utimes v montamos
u times v = i & j & k 3 & -4 & 2 2 & 5 & -3
O coeficiente de i é (-4)(-3)-2cdot5=12-10=2, o de j é
l(3cdot(-3)-2cdot2r)= -9-4=-13 e o de k é 3cdot5-(-4)cdot2=15+8=23. Como o termo em j leva sinal alterado,
utimes v = 2,i +13,j +23,k

Passo 3

Para calcular utimes w montamos
u times w = i & j & k 3 & -4 & 2 4 & 7 & 2
O coeficiente de i é (-4)cdot2-2cdot7=-8-14=-22, o de j é 3cdot2-2cdot4=6-8=-2 (com sinal alterado fica +2) e o de k é 3cdot7-(-4)cdot4=21+16=37. Logo,
utimes w = -22,i +2,j +37,k

Passo 4

Para calcular vtimes w montamos
v times w = i & j & k 2 & 5 & -3 4 & 7 & 2
O coeficiente de i é 5cdot2-(-3)cdot7=10+21=31, o de j é 2cdot2-(-3)cdot4=4+12=16 (com sinal alterado fica -16) e o de k é 2cdot7-5cdot4=14-20=-6. Assim,
vtimes w = 31,i -16,j -6,k

Resposta

(a) utimes v = 2,i +13,j +23,k
(b) utimes w = -22,i +2,j +37,k
(c) vtimes w = 31,i -16,j -6,k

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